階数・退化次数の定理

階数・退化次数の定理：行列と線型写像の次元に関する関係

線型代数学において、階数・退化次数の定理（rank-nullity theorem）は、行列や線型写像の階数と退化次数（核の次元）の関係を示す重要な定理です。この定理は、ベクトル空間の次元に関する重要な性質を明らかにし、線型写像の性質を理解する上で不可欠な役割を果たします。

行列の場合

m行n列の行列Aに対して、その階数（rank A）とは、線型独立な行ベクトル（または列ベクトル）の最大数です。一方、退化次数（nullity A）とは、Aの零空間（Ax = 0の解空間）の次元です。階数・退化次数の定理は、行列Aの階数と退化次数の和が、行列の列数nに等しいことを主張します。つまり、以下の式が成り立ちます。

rank A + nullity A = n

この式は、行列の列空間と零空間の次元が、行列の列数によってどのように制約されるかを明確に示しています。

線型写像の場合

階数・退化次数の定理は、行列だけでなく、より一般的に線型写像に対しても適用できます。VとWをベクトル空間、T: V → Wを線型写像とすると、Tの階数（rank T）はTの像（im T）の次元、Tの退化次数（nullity T）はTの核（ker T）の次元となります。この場合、定理は次のように表現されます。

dim(im T) + dim(ker T) = dim V

これは、線型写像TによってVの次元が、像の次元と核の次元にどのように分割されるかを示しています。行列の場合の定理は、この線型写像の場合の定理の特別な場合と見なすことができます。ここで、VをR^n、WをR^m、TをAによる線形変換とすれば、行列の場合の定理が導出されます。

定理の証明

階数・退化次数の定理の証明にはいくつかの方法がありますが、ここでは線型写像を用いた証明と、行列の階数分解を用いた証明の2つを紹介します。

証明1：線型写像を用いた証明

この証明では、核(ker T)の基底をVの基底に拡張し、像(im T)の基底を構成することで、dim(im T) = dim V - dim(ker T)を示します。具体的には、ker Tの基底{u1, ..., um}をVの基底{u1, ..., um, w1, ..., wn}に拡張し、{Tw1, ..., Twn}がim Tの基底であることを示すことで証明が完了します。この証明では、線型独立性と生成系の概念を理解している必要があります。

証明2：行列の階数分解を用いた証明

この証明では、階数rのm×n行列Aを、階数rのm×r行列A1とr×n行列Bを用いてA = A1Bと階数分解します。そして、Aの零空間の基底となるn×(n-r)行列Xを構成することで、零空間の次元がn-rであることを示し、rank A + nullity A = nを証明します。この証明では、行列の演算と線型独立性の概念を理解している必要があります。

一般化と応用

階数・退化次数の定理は、代数学の基本定理や短完全系列といった高度な概念と関連しており、様々な場面で応用されます。例えば、線型方程式系の解の存在性や一意性、線型写像の同型写像に関する議論、さらにはより高度な数学分野であるホモロジー代数にも応用されます。

まとめ

階数・退化次数の定理は、一見単純な定理に見えますが、線型代数学における多くの重要な概念を結びつけ、その理解を深める上で重要な役割を果たします。この定理を理解することで、行列や線型写像の性質をより深く理解し、様々な問題を解決する上で役立ちます。この定理は、線型代数の基礎を築く上で不可欠な概念であり、その証明方法や応用範囲を理解することは、線型代数学の学習において非常に重要です。

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