階数因数分解

階数因数分解

階数因数分解（かいすういんすうぶんかい）、または階数分解（rank decomposition）とは、線型代数学における重要な概念の一つで、行列を特定の形で表現する方法です。具体的には、行列Aを階数rのm×n行列Cとr×n行列Fの積として表すことができるというものです。この表現は以下のように示されます：

$$A = C F$$

ここで、行列Aはm×nのサイズを持ちます。\

階数因数分解の存在

すべての有限次元行列には、必ず階数因数分解が存在します。行列Aの列階数がrである場合、これはr個の線型独立な列を持つことを意味しています。加えて、Aの列空間の次元もrです。これらの列空間におけるとある基底を選び、以下のようにm×rの行列Cを構成します：

$$C = [c_1:c_2:
dots:c_r]$$

このように、行列Aのすべての列は行列Cの列の線型結合として表すことができます。具体的には、任意の列ベクトル$a_j$は次のように表されます：

$$a_j = f_{1j}c_1 + f_{2j}c_2 + ext{⋯} + f_{rj}c_r$$

ここで、$f_{ij}$は基底$c_1, c_2, ext{⋯}, c_r$に対する$a_j$のスカラー係数です。このことにより、行列Aは次の式により表現されます：

$$A = C F$$

階数の性質

階数因数分解の特性の一つとして、行列Aの階数はその転置行列A^Tの階数に等しいということが挙げられます。この性質から、行列の列階数と行階数は常に等しいことが理解できます。\

証明の概要

この性質の証明は、AがCとFの積として表されることを基にしています。転置行列について考え、行列Aの列空間がF^Tの列空間に含まれることが示され、結果として階数が一致することがわかります。

階数因数分解の構築方法

階数因数分解を構成するための具体的な手法としては、行列Aの行既約階段形Bを計算し、そこから非ピボット列を取り除くことで行列Cを得たり、ゼロ行を除外することで行列Fを得たりします。この方法を用いることで、階数因数分解を実際に行うことが可能です。

実例

具体的な例として、以下の行列Aを考えます：

$$A = egin{bmatrix}1 & 3 & 1 & 4 \2 & 7 & 3 & 9 \1 & 5 & 3 & 1 \1 & 2 & 0 & 8\\end{bmatrix}$$

この行列の行既約階段形Bを計算すると、Bは次のようになります:

$$B = egin{bmatrix}1 & 0 & -2 & 0 \0 & 1 & 1 & 0 \0 & 0 & 0 & 1 \0 & 0 & 0 & 0\\end{bmatrix}$$

これから、行列Cは非ピボット列を除去した行列として次のように得られます：

$$C = egin{bmatrix}1 & 3 & 4 \\ 2 & 7 & 9 \\ 1 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 8 \\end{bmatrix}$$

行列Fは次のように得られます：

$$F = egin{bmatrix}1 & 0 & -2 & 0 \0 & 1 & 1 & 0 \0 & 0 & 0 & 1 \\end{bmatrix}$$

これらの行列の組み合わせをチェックすることで、Aは次のように表されます：

$$A = C F$$

以上のように、階数因数分解の手法とその性質、そして具体的な例を通じてこの概念の理解を深めていきましょう。

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