集合値函数

集合値函数の概要

集合値函数とは、数学における写像の一部で、ある集合の各要素に対して、別の集合の部分集合を対応付けるものです。この関数は、通常の写像の拡張版であり、複数の出力を持つことが特徴です。また、集合値写像とも呼ばれ、特にその応用が広い分野として、動的システムやゲーム理論があります。

定義と基本的な性質

集合 X から集合 Y への集合値写像 F : X ⇉ Y では、X の各要素 x に対して、Y の部分集合 F(x) が対応します。この際、F(x) が空集合であることも許容されます。集合値写像 F の性質を理解するためには、以下の用語が重要です。

• - グラフ (Graph): F のグラフは、X と Y の直積空間において、x の値に関する全ての y を含む部分集合です。
• - 像 (Image): 任意の x に対する F の値（像）は、F(x) で表され、もし全ての x に対して像が非空であれば、F は狭義の集合値写像と言われます。
• - 定義域 (Domain): F の定義域は、像が非空の x のすべての集合です。

特殊な性質

集合値写像についての特筆すべき性質には、次のものがあります。

• - 定義域、逆写像の像、グラフの射影は一致します。
• - 一方で、像、逆写像の定義域、グラフの別の射影も一致します。

逆写像と制限

集合値写像の逆写像 F⁻¹ は、Y から X への集合値写像で、特に x ∈ F⁻¹(y) となる条件が成り立つ点で特徴付けられます。また、K が X の部分集合であるとき、F の K への制限は、K の各元に対する F の値を対応させ、K に含まれない元に対しては空集合を割り当てます。

演算と拡張

集合値写像の演算や拡張に関する性質も重要です。たとえば、2つの集合値写像 F と G において、G が F の拡張であるとは、F のグラフが G のグラフに含まれることを意味します。これを基にした演算の性質には、例えば、以下のようなものがあります。

• - F(K₁ ∪ K₂) = F(K₁) ∪ F(K₂)
• - F(K₁ ∩ K₂) ⊂ F(K₁) ∩ F(K₂)

例

集合値写像の具体例として、正の実数 R⁺ からその冪集合への写像 φ: R⁺ → 𝒫(R⁺) を考えます。このとき、φ(x) = [0,x] となり、これは集合値函数となります。また、任意の集合族や集合列を添字に対して集合を割り当てる形式も集合値函数と見なすことができます。

応用

集合値写像は、多くの応用を持っています。特に、微分方程式の一般化としての微分包含式は、動的システムにおいて顕著な役割を果たしています。また、ゲーム理論におけるナッシュ均衡の存在証明は、ブラウワーの不動点定理を集合値写像に応用した結果として得られます。このように、集合値写像の理論は、さまざまな数学的問題に対応するための強力なツールとして機能しています。

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