集合函数

集合函数に関する概要

集合函数とは、集合を変数として扱い、通常は数を返す数学的な函数です。しかし、時には無限大の値を返すこともあります。これらは補完数直線上の値を取ることができ、通常は適当な集合の部分集合族から選ばれる集合を入力とします。具体的には、実数やユークリッド空間の点集合、あるいは測度空間の点集合から参照されます。

この概念は、通常の点で定義される函数とは異なり、集合を変数として取り扱う点に特徴があります。点函数と呼ばれるものは、特定の点を入力として数値を返すのに対し、集合函数は集合そのものを扱います。また、集合を出力として得る写像は「集合値函数」と称されることもあります。

定義

具体的な定義としては、空でない集合 X とその部分集合族 𝒞 ⊆ 𝒫(X) に対し、写像 f: 𝒞 → W を集合函数と呼びます。ここで、終域 W は通常、非負の実数と無限大からなる定義域であることが多いです。例として、W = R+ ∪ {+∞} などがよく使用されます。この場合、fは非負の値を持つ関数であるとされます。

例

集合函数の具体例にはいくつかのタイプがあります。例えば、任意の集合にその濃度、つまり元の個数を割り当てる函数や、無限集合に形式的な無限大を割り当てる函数があります。また、素性が良い部分集合に密度を割り当てる関数や、実数の集合にルベーグ測度を割り当てる関数も含まれます。

確率測度は、特定のσ-代数に属する集合に確率を割り当てる集合函数として知られています。確率の基本的な特徴には、空集合への確率が0、全体集合への確率が1であるという特性があります。また、より新しい概念として、可能性測度もあり、これは与えられた集合の冪集合に対して0から1の間の数を割り当てます。

平面上の点集合に対しては、その面積を測度として割り当てる集合函数が考えられ、解析学では函数のグラフとx軸との間の面積を計算するために、集合函数が用いられます。外測度は、任意の点集合に対して、それを含む可測集合の面積の下限を割り当てる非負値の集合函数です。

基本的な性質

集合函数には、以下のような基本的な性質があります:

1. 単調性: A ⊆ B なるとき、f(A) ≤ f(B)が成立します。
2. 有限値: すべての A に対して f(A) < ∞ が成り立ちます。
3. σ-有限性: 各 j に対して、f(A_j) < ∞ であるときは、全体の合併も含めて成り立ちます。
4. 有界性: g(A) の上限が存在するとき、g(A)は有界とされます。
5. 完備性: f(A) = 0 かつ B ⊆ A ならば B は集合族に属します。

これらの性質は、集合函数が計算や理論的な面でどのように機能するのかを理解するために重要です。集合函数は、特に測度論において重要な役割を果たしており、確率論など他の数学の分野でも利用されています。数学における集合函数の理解は、測度や積分など、より複雑な概念に進むための基盤を提供します。

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