零元

零元 (れいげん、ゼロげん)

数学における「零元（れいげん、ゼロげん）」は、代数的な構造を持つ集合の中で、特定の二項演算に対して特異な性質を示す特別な要素を指す言葉です。この用語は文脈によって、主に二つの異なる、しかし関連性の深い意味合いで用いられます。

一つ目は「吸収元」としての零元です。ある集合Mの上に定義された二項演算 $$ があるとき、Mの中に存在する要素 $z$ が、Mの任意の要素 $x$ に対して、$x z = z$ および $z x = z$ という等式を満たす場合、この要素 $z$ を演算 $$ に関する吸収元と呼びます。

例えば、通常の数の掛け算において、どんな数に0を掛けても結果は0になります（$x imes 0 = 0 imes x = 0$）。この場合、0は掛け算における吸収元です。集合Mに定義された二項演算は、必ずしも数の掛け算や足し算である必要はなく、より一般的な演算や集合（例えば行列や関数など）に対してもこの概念は適用されます。吸収元が存在する場合、その集合内での特定の演算において非常に支配的な要素であると言えます。

二つ目は「加法単位元」としての零元です。これは、加法的な表記が用いられる可換群（アーベル群）などの代数系における単位元を指します。単位元とは、ある演算に対して、その要素と演算しても元の要素が変わらない性質を持つ要素のことです。加法的に書かれた可換群においては、演算は通常 '+' で表され、単位元 $e$ は任意の要素 $x$ に対して $x + e = e + x = x$ という性質を満たします。この加法的な単位元を、しばしば零元と呼びます。

例えば、整数の集合における通常の足し算を考えた場合、0はどんな整数に足してもその整数自体を変えません（$x + 0 = 0 + x = x$）。したがって、整数全体の集合における足し算に関して、0は単位元であり、これを零元と呼びます。

環（Ring）などの代数系では、加法と乗法という二つの二項演算が定義されています。このような構造において、加法に関する単位元（すなわち加法単位元）は、乗法に関する吸収元となる性質を持つことがしばしばあります。つまり、環の加法単位元0に対して、環の任意の要素 $x$ について $x imes 0 = 0 imes x = 0$ が成り立ちます。これは、数の世界で慣れ親しんだ「ゼロを掛けたらゼロになる」という性質の抽象化された形と言えます。

零元を表す記号としては、数字の「0」がしばしば流用されます。文脈を明確にするために、所属する集合や構造を添えて $0_S$ のように書くこともありますが、文脈から明らかな場合は単に $0$ と表記されることが一般的です。この記号の流用は、整数や実数における0が持つ性質（加法単位元であり、乗法吸収元である）が、より一般的な代数系における零元の性質の典型的な例であることに由来します。

零元の概念は、群、環、体、線形空間などの様々な代数系を理解する上で非常に基本的な役割を果たします。それは、集合の構造や演算の性質を特徴づける上で、中心的な位置を占める要素だからです。吸収元の存在は演算の性質を決定づけ、加法単位元は代数系における「基準点」のような役割を果たします。これらの特別な要素の性質を調べることは、代数系の構造を深く理解するための第一歩となります。

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