高度トーティエント数

高度トーティエント数 (Highly totient number)

高度トーティエント数、または高度トーシェント数とは、数論における特殊な性質を持つ自然数の一種です。その定義は、ある自然数 `k` について、オイラーのトーシェント関数 φ(n) = k を満たす自然数 `n` の解の個数が、`k` よりも小さい任意の自然数 `k'` に対して φ(n) = k' を満たす `n` の解の個数よりも厳密に多くなるような自然数 `k` のことを指します。

オイラーのトーシェント関数 φ(n) とは、1 から n までの自然数のうち、n と互いに素であるものの個数を数える関数です。例えば、φ(8) を計算すると、1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 のうち、8 (2の3乗) と互いに素なのは 1, 3, 5, 7 なので、φ(8) = 4 となります。

高度トーティエント数の概念では、関数の「値」に着目するのではなく、ある「値 k」を取るような「定義域 n」の個数を問題とします。つまり、方程式 φ(n) = k の解となる自然数 n がいくつ存在するか、その個数を基準として特別な数 k を選び出すのです。

具体例: k = 8

自然数 8 が高度トーティエント数であるかどうかを考えてみましょう。まず、方程式 φ(n) = 8 を満たす自然数 n を探します。このような n は 15, 16, 20, 24, 30 です。これらの数を実際にφ関数で計算すると、

φ(15) = φ(3 × 5) = φ(3) × φ(5) = (3-1) × (5-1) = 2 × 4 = 8
φ(16) = φ(2⁴) = 2⁴ - 2³ = 16 - 8 = 8
φ(20) = φ(2² × 5) = φ(2²) × φ(5) = (2² - 2¹) × (5-1) = (4-2) × 4 = 2 × 4 = 8
φ(24) = φ(2³ × 3) = φ(2³) × φ(3) = (2³ - 2²) × (3-1) = (8-4) × 2 = 4 × 2 = 8
φ(30) = φ(2 × 3 × 5) = φ(2) × φ(3) × φ(5) = (2-1) × (3-1) × (5-1) = 1 × 2 × 4 = 8

このように、φ(n) = 8 を満たす自然数 n は 5個あります。

次に、8 より小さい自然数 k' (すなわち 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) それぞれについて、φ(n) = k' を満たす n の個数を調べます。

φ(n) = 1 を満たす n は 1, 2 (2個)
φ(n) = 2 を満たす n は 3, 4, 6 (3個)
φ(n) = 3 を満たす n は存在しない (0個)
φ(n) = 4 を満たす n は 5, 8, 10, 12 (4個)
φ(n) = 5 を満たす n は存在しない (0個)
φ(n) = 6 を満たす n は 7, 9, 14, 18 (4個)
φ(n) = 7 を満たす n は存在しない (0個)

これらを比較すると、k=8 の場合の解の個数（5個）は、k' が 7 以下のどの数である場合よりも多くなっています。したがって、定義に従い、8 は高度トーティエント数であると判定されます。

性質

高度トーティエント数は無限に存在することが知られています。小さい方から順に並べると、以下のようになります。

1, 2, 4, 8, 12, 24, 48, 72, 144, 240, 432, 480, 576, 720, 1152, 1440, ...

これらの高度トーティエント数 `k` に対して、φ(n) = k を満たす自然数 `n` の個数は、上記のリストの順に以下のようになります。

2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 17, 21, 31, 34, 37, 38, 49, 54, 72, ...

興味深い性質として、1 は高度トーティエント数の中で唯一の奇数です。1以外の全ての高度トーティエント数は偶数であることが証明されています。

この高度トーティエント数の定義は、約数の個数などに基づいて定義される高度合成数 (highly composite number) の定義と類似していますが、その性質や計算方法は大きく異なります。高度トーティエント数を決定するためには、オイラーのφ関数の計算に必要となる素因数分解に関する深い理解と、方程式 φ(n) = k の解の構造に関する知識が必要となるため、高度合成数の探索と比較してより複雑で難しい問題とされています。

関連項目

オイラーのφ関数
高度合成数

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