1+1+1+1+…

無限級数の発散について

数学において、無限級数の1 + 1 + 1 + …という表現は発散することが知られています。この累積は、部分和がどの実数にも収束することがないため、発散級数とされます。この級数の一般的な表現は以下の通りです。

\[
\sum_{n=1}^{\infty} n^{0}
\]

また、同様に次のように表すこともできます。

\[
\sum_{n=1}^{\infty} 1^{n}
\]

これらはすべて、実際には単に

\[
\sum_{n=1}^{\infty} 1
\]

と表され、一般的に公比が1の幾何級数と考えることが可能です。実数系やp-進数においても、この累積は収束しない挙動を示します。拡大実数においては、以下のように示されます。

\[
\sum_{n=1}^{\infty} 1 = +\infty
\]

これは、部分和が上限なしに単調に増加するためです。このように無限に足すと無限大に達することが明確になります。

ゼータ関数との関係

無限級数の和が物理的な現象に応用される際には、しばしばゼータ関数の正規化によって理解されます。リーマンのゼータ関数は次のように定義されています。

\[
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}
\]

ゼータ関数は、以下の条件での値を考慮する際、s = 0の場合に特に興味深い結果を持ちます。しかし、この式自体はs = 0では有効ではないため、別の解析的手法が必要です。

解析接続

リーマンのゼータ関数における解析的接続を使用して次のように表現されます。

\[
\zeta(s) = 2^{s} \pi^{s-1} \sin \left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)
\]

ここで、Γ(1) = 1の性質を利用すると、次の評価が得られます。

\[
\zeta(0) = \frac{1}{\pi} \lim_{s\rightarrow 0} \sin \left(\frac{\pi s}{2}\right) \zeta(1-s)
\]

解析しますと、

\[
\zeta(0) = -\frac{1}{2}
\]

となります。 これは、ゼータ関数の1における留数をもつ1位の極に関連することで、無限級数1 + 1 + 1 + …が\( \zeta(0) = -\frac{1}{2} \)として解釈される理由でもあります。

まとめ

この結果は、無限級数が持つ高尚で興味深い性質を示しており、伝えられていることに関してEmilio Elizaldeは、この累積に対する数学者たちのさまざまなアプローチについて語っています。このような発散級数は、数学の世界において新たな洞察をもたらす重要なテーマです。

関連項目

• - 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + …
• - 調和級数

脚注

外部リンクには、オンライン整数列大辞典の数列A000027が含まれています。

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