17点3次曲線

定義と概要

17点3次曲線は、幾何学、特に三角形幾何学において現れる特別な3次曲線です。この曲線上の点 X は、ある特別な性質を満たします。その性質とは、「点 X 自身」と、「点 X の等角共役点 X' 」、そして「基準となる三角形の重心 G 」の3点が常に同一直線上に並ぶ、というものです。このような性質を持つ点の軌跡として定義されます。

この曲線は、研究者の名にちなんで「トムソンの3次曲線」とも呼ばれます。なぜ「17点3次曲線」と呼ばれるのかというと、後述するように、基準となる三角形が持つ非常に多くの重要な点が、この曲線上にあるためです。具体的には、少なくとも17個の既知の点がこの曲線上に存在することが知られています。

数学的な表現

17点3次曲線は、特定の座標系を用いて代数的な方程式で表現できます。三角形の3辺の長さをそれぞれ a, b, c とすると、点の座標を用いて以下のように記述されます。

三線座標 (trilinear coordinates) での方程式:

点 X の三線座標を (h_A, h_B, h_C) とすると、この点が17点3次曲線上にあるための条件は次のようになります。

$$abh_{C}(h_{A}^{2}-h_{B}^{2})+cah_{B}(h_{C}^{2}-h_{A}^{2})+bch_{A}(h_{B}^{2}-h_{C}^{2})=0$$

重心座標 (barycentric coordinates) での方程式:

点 X の重心座標を (g_A, g_B, g_C) とすると、この点が17点3次曲線上にあるための条件は次のようになります。

$$a^{2}g_{B}g_{C}(g_{B}-g_{C})+b^{2}g_{C}g_{A}(g_{C}-g_{A})+c^{2}g_{A}g_{B}(g_{A}-g_{B})=0$$

これらの式は、点が曲線上の点であることの必要十分条件を与えており、この曲線が3次曲線であることを示しています。

曲線が通過する17点以上

「17点3次曲線」という名の通り、この曲線は多くの重要な三角形の中心や特定の点を通ります。以下に、その代表的な点をいくつか挙げます。

内心 (Incenter): 内心はそれ自身の等角共役点です。定義により、自身（内心）と等角共役点（内心自身）、そして重心が一直線上に並ぶため、曲線を通ります。
傍心 (Excenters): 3つの傍心も、それぞれが自身の等角共役点であるため、内心と同様の理由で曲線を通ります。
重心 (Centroid): 重心自身は等角共役点の定義からは直接結びつきませんが、定義式の条件「X, X', G が共線」において G そのものが登場すること、および重心座標での方程式に (1,1,1) を代入することで容易に成立が確認でき、曲線上の点です。
類似[重心]] (Symmedian point): 類似重心は重心の等角共役点です。したがって、重心]と類似[重心]のペアにおいて、K'はGであり、G'はKとなります。定義の条件「X, X', G が共線」を X=K として考えると、K, G, G が共線、となり成立するため、類似[[重心は曲線を通ります。
外心 (Circumcenter): 外心は垂心の等角共役点です。外心と垂心、そして重心はオイラー線上にあります。定義の条件「X, X', G が共線」を X=外心とすると、外心, 垂心, 重心が共線、となり成立するため、外心は曲線を通ります。
垂心 (Orthocenter): 垂心は外心の等角共役点であり、外心、重心と共にオイラー線上の点であるため、外心と同様の理由で曲線を通ります。
三角形の3つの頂点: 基準となる三角形の各頂点 A, B, C もこの曲線を通ります。三線座標または重心座標の方程式に頂点の座標を代入することで確認できます。
三角形の3辺の中点: 3辺の中点もこの曲線を通ることが知られています。特に重心座標での方程式で確認が容易です。
* 3本の垂線の中点: 頂点から対辺またはその延長線に下ろした垂線の足と頂点を結ぶ線分（垂線）の3つの中点も曲線上にあります。

これらに加えて、シュタイナーの内接楕円の焦点や、ミッテンプンクト（Spieker center）とその等角共役点など、さらに多くの重要な点（合計で17点以上）がこの曲線上にあることが示されています。これらの点の存在が、「17点3次曲線」という名の由来となっています。

この曲線は、三角形の幾何学における様々な中心点の間の関係性を示す興味深い例であり、その研究は現在も続けられています。

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