三角形の中心

「三角形の中心」とは、任意の三角形に対して常にただ一つ定まる、特別な幾何学的な性質を持つ点の総称です。内心、外心、重心、垂心といった代表的なものを含め、多くの点が研究されており、「心」や「芯」とも呼ばれます。

定義の多様性

三角形の中心は、その性質に基づいて様々な方法で定義されます。

特別な3直線の交点: 三角形の特定の条件を満たす3本の直線が一点で交わる、その交点として定義されます。例えば、各頂点から対辺への垂線は「垂心」、角の二等分線は「内心」、辺の垂直二等分線は「外心」、そして中線（頂点と対辺の中点を結ぶ線分）は「重心」で交わります。これらの共点性はチェバの定理などで証明されます。ジェルゴンヌ点なども含まれます。
特定の円の中心: 特定の幾何学的な意味を持つ円の中心として定義されます。「内心」は3辺に接する内接円の中心、「外心」は3頂点を通る外接円の中心、「九点円の中心」もその一つです。
その他の定義: 上記以外にも、3頂点からの距離の和を最小にする「フェルマー点」や、既存の点の組み合わせとして定義される中心も存在します。一つの中心が複数の定義を持つ場合もあります。

歴史

三角形の中心に関する研究は古く、内心、外心、重心、垂心、傍心の「五心」は、古代ギリシャのユークリッドの「原論」にも記述があります。五心以外の多くは、1678年のチェバの定理後に発見されました。19世紀から20世紀にかけて研究は進展し、ブロカール点などが発見されました。現代も活発な研究テーマであり、エヴァンズビル大学のデータベースには6万を超える中心が登録されています。

名称

多くは発見者や研究者の名にちなみますが、「ナポレオン点」や「安島-マルファッティ点」のような例外もあります。

位置表現のための座標

三角形の中心の位置を示すのに便利な座標系として、「三線座標」と「重心座標」があります。これらは三角形に対して対称性を持つように定義されます。

三線座標: 点から各辺までの符号付き距離の比 $(h_A : h_B : h_C)$ で位置を表します。符号は辺に対して三角形の内部にあるか外部にあるかで決まります。例えば、内心の三線座標は $(1 : 1 : 1)$ です。
* 重心座標: 頂点に質量を置いた質量中心の考え方に基づきます。点Pのベクトル $\vec{P}$ は、頂点のベクトル $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ を用いて以下のように表されます。

$$ \vec{P} = \frac{g_A \vec{A} + g_B \vec{B} + g_C \vec{C}}{g_A + g_B + g_C} $$

三線座標 $(h_A : h_B : h_C)$ と重心座標 $(g_A : g_B : g_C)$ の間には、$g_A : g_B : g_C = a h_A : b h_B : c h_C$ (a, b, cは辺長) の関係があります。これらの座標は共線性判定などに利用されます。

まとめ

三角形の中心は、多様な定義と性質を持つ奥深い研究テーマです。古来から現代まで探求が続き、座標系などのツールによってその理解が進んでいます。

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