シュタイナーの内接楕円

シュタイナーの内接楕円

定義と名称

幾何学において、シュタイナーの内接楕円とは、任意の三角形に対し、その三つの辺それぞれの中点で内接する唯一の楕円を指します。この楕円は「中点楕円」または「ガウス楕円」とも呼ばれることがあります。ヤコブ・シュタイナーに帰属するとされ、その存在と性質はデリーやカルマンによっても研究されました。

シュタイナー楕円との対比

ヤコブ・シュタイナーの名を冠する図形には、この内接楕円の他に「シュタイナーの外接楕円」があります。シュタイナーの外接楕円は、三角形の三つの頂点を通る唯一の楕円であり、この内接楕円との対比において言及されることがあります。

幾何学的な性質

シュタイナーの内接楕円は、その定義から導かれるいくつかの顕著な幾何学的性質を持っています。

中心: この楕円の中心は、元の三角形の重心と完全に一致します。三角形の内接楕円の中で、重心を中心とするものはシュタイナーの内接楕円だけです。

面積: 三角形に内接する無数の楕円の中で、シュタイナーの内接楕円は最も広い面積を持ちます。その面積は、元の三角形の面積の $\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$ 倍になることが知られています。

シュタイナーの外接楕円との関係: シュタイナーの内接楕円と外接楕円は、共通の中心（三角形の重心）を持ちます。両者は相似な図形であり、相似比は 1:2 です。さらに、それぞれの長軸と短軸は同一線上に位置し、焦点も同一直線上にあります。これにより、両楕円の離心率は等しくなり、面積比は 1:4 となります。

接点の特異性: 三角形に内接する二次曲線（円や楕円、双曲線など）のうち、二つ以上の辺の中点で接するものは、シュタイナーの内接楕円ただ一つです。

中点三角形: シュタイナーの内接楕円は、元の三角形の辺の中点を頂点とする「中点三角形」にとってのシュタイナーの外接楕円となっています。

軸と焦点

シュタイナーの内接楕円の長軸と短軸の長さ、および二つの焦点間の距離は、元の三角形の三辺の長さ (a, b, c) を用いて特定の式で表現されます。これらの式は、辺の長さに関する複雑な量 Z（$Z = \sqrt{a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2}$）を含みます。

焦点に関してはさらに興味深い性質があります。

マーデンの定理: 複素数平面上で、三角形の三頂点を根とする三次多項式を考えると、その導関数の根はシュタイナーの内接楕円の焦点の位置に対応します。これはマーデンの定理として知られています。

距離の最短性: シュタイナーの内接楕円の長軸は、三角形の三つの頂点からの距離の合計が最も短くなる直線上にあります。

フェルマー点との関連: 三角形の重心を G、二つのフェルマー点を F+ と F− とすると、シュタイナーの内接楕円の長軸は∠F+GF−の二等分線上に位置します。また、軸の長さは |GF−| ± |GF+| という式で与えられます。

他の幾何学的対象との関係

シュタイナーの内接楕円は、他の様々な重要な幾何学的図形とも関連があります。

キーペルト放物線: この楕円の二つの軸は、キーペルト放物線に接します。

17点3次曲線: 楕円の二つの焦点は、17点3次曲線と呼ばれる特別な曲線上にあります。

重心座標: シュタイナーの内接楕円上の点の座標は、三角形の重心座標を用いて特定の二次方程式（$x^2+y^2+z^2-2xy-2yz-2zx=0$ など）で記述されます。

九点円錐曲線: シュタイナーの内接楕円は、元の三角形と重心に対する九点円錐曲線の一種とみなすことができます。

これらの性質は、シュタイナーの内接楕円が三角形幾何学における基本的なかつ豊かな性質を持つ図形であることを示しています。

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