CM体

CM体の概要

CM体（Complex Multiplication field）は、特別な性質を持つ代数体の一つで、その名は虚数乗法に由来します。また、J-体とも呼ばれることがあります。日本の数学者、志村五郎と谷山豊夫によって1961年に提唱されたこの概念は、代数的数論や代数幾何学において重要な役割を担っています。

CM体の定義

CM体Kとは、実数体Fの二次拡大であり、Kが虚数体であることを意味します。具体的には、Fから複素数Cへの埋め込みがすべて実数Rに含まれる一方で、KをRに埋め込む方法は存在しないという条件が満たされます。さらに、Kの部分体Fが存在し、KはF上の特定の元の平方根によって生成されている必要があります。この元は、「総負」と呼ばれる特性を持ち、埋め込みによってすべてのσ(α)が負であることが求められます。

CM体の性質

CM体のもう一つの顕著な性質は、複素共役に基づく自己同型が存在することです。これは、体の埋め込み方に依存せず、特定の元の符号を反転させる操作です。加えて、CM体Kが置かれた場合、Kの真の部分体Fが「units defect」を持つことが確認されます。これは、Fの単数群とKの単数群が同じZ-ランクを持つことに関連しています（Remak, 1954）。この性質は、ディリクレの単数定理により実証されています。

CM体の例

最も基本的で、容易に理解できるCM体の例は、虚数体から構成されるものです。この場合、Fは有理数体に該当します。さらに、円分体     K（原始n乗根で生成される体）はCM体の重要な例であり、その倍加分体は実数体の二次拡大に分類されます。具体的には、体

\[ Q(ζ_n + ζ_n^{-1}) \]

は複素共役写像の固定体であり、そこから別の体（元の平方根を加えることで得られる）を生成します。

すべてのCM体を合成したものはQCM（無限次拡大）と呼ばれ、これもまたCM体に似た特性を持っていますが、すべての実体QRの二次拡大に繋がります。ここで、絶対ガロア群Gal(Q/QR)はGal(Q/Q)の位数2に相当する元で構成されており、逆にGal(QCM/Q)は指数2の部分群として知られています。ガロア群の特性は、体の構造と性質をさらに深く洞察する手助けとなります。

CM体と幾何学

n次元の複素アーベル多様体Vにおいては、Vの自己準同型についての任意の可換代数Fは、Z上のランクが最高で2nとなることが知られています。特に、Vのランクが2nである場合、FはCM体に対応する特性を持ちます。こうした構造は、様々な数学的問題に対する解法や新たな視点を提供します。

参考文献

• - Remak, R. (1954). "Über algebraische Zahlkörper mit schwachem Einheitsdefekt". Compositio Math. 12: 35–80.
• - Shimura, G. (1971). "Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions". Publications of the Mathematical Society of Japan, 11.
• - Shimura, G., & Taniyama, Y. (1961). "Complex multiplication of abelian varieties and its applications to number theory". Publications of the Mathematical Society of Japan, 6.
• - Washington, L. C. (1996). "Introduction to Cyclotomic fields" (2nd ed.). New York: Springer-Verlag.

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