絶対ガロア群

絶対ガロア群の概要

絶対ガロア群（ぜったいガロアぐん）とは、任意の体 K に対し、K の分離閉包 Ksep に基づくガロア群のことを指します。この群は、K の代数的閉包の自己同型の中で K を保持するすべての要素の集まりとして定義されます。特徴的なのは、絶対ガロア群が副有限群である点で、また、異なる内部自己同型を無視すれば明確な定義を持っています。

特に、K が完全体である場合、Ksep は K の代数的閉包 Kalg と一致します。これは、通常の体の例である標数0の体や有限体などに当てはまります。

具体的な例

• - 代数的閉体の絶対ガロア群: これは、単位元のみからなる自明な群です。
• - 実数体の絶対ガロア群: 複素数の共役と恒等写像からなる位数2の循環群です。この構造は、複素数体 C が実数体 R の分離閉包として機能することから導き出されます。
• - 有限体の絶対ガロア群: この群は

{ extstyle {ackslash hat { extbf {Z} }}= ext{lim} { extstyle ext{Z} /n extbf {Z} }}

と同型であり、フロベニウス自己同型 Fr は絶対ガロア群 GK の標準的な生成元です。この Fr は、q を K の要素の数と定義し、Fr(x) = x^q（x は Kalg の元）となります。

• - 複素数体上の有理関数体の絶対ガロア群: この群は自由副有限群で、リーマンの存在定理に由来しています。任意の代数的閉体 C に対し、有理関数体 K = C(x) の絶対ガロア群もまた自由群であり、その階数は C の濃度に一致します。これに関する証明は、デイヴィッド・ハーバターとフロリアン・ポップの二人によってなされました。

p進数体の場合

K を p進数体 Qp の有限次拡大とする場合、p が 2 でないとき、この体の絶対ガロア群は [K:Qp] + 3 個の元で生成されます。この結果はウーヴェ・ヤンセンとケイ・ヴィンベルグによって証明されています。一方、p = 2 の時に関する構造は未だ不明な点が多く存在します。

その他の知見

現在知られている限り、すべての代数的数体の絶対ガロア群はすでに決定されていますが、有理数体に関する問題は未解決のままです。具体的には、有理数体の絶対ガロア群を直に記述する方法はまだ確立されていません。そこで、単位元と複素共役以外の元に名前を付けられた事例は存在しません。この背景には、ベールイの定理が関連しており、この理論によって代数体のガロア理論を「見る」ことが可能となります。

また、有理数体の最大アーベル拡大 K の絶対ガロア群が自由副有限群であるとの予測もなされています—これはシャファレヴィッチの予想と呼ばれています。

全ての副有限群はあるガロア拡大のガロア群となることが示されていますが、すべての副有限群が絶対ガロア群として機能するわけではありません。アルティン・シュライアーの定理により、有限群の中で絶対ガロア群となるものは自明な群か位数2の群だけであることが確認されています。

最後に、すべての射影的副有限群は擬代数的閉体の絶対ガロア群として表現可能であるという重要な結果も得られています。アレクサンダー・ルボツキーとルー・ファン・デン・ドリースによってこの事実が証明されています。

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