CW複体

位相幾何学におけるCW複体は、極めて重要な概念です。これは、主にホモトピー論における議論を容易にする目的で、数学者J. H. C. Whiteheadによって導入されました。従来の単体複体と比較して、より一般的な空間を扱える一方で、特定の優れた性質（圏論的扱いやすさなど）を備えており、特に計算を行う上で非常に有用な連結性を持っています。

CW複体という名称は、その定義における二つの主要な性質に由来します。Cは「閉包有限性（closure finite）」を、Wは空間の構造を定める「弱い位相（weak topology）」をそれぞれ指しています。

CW複体は、「胞体（cell）」と呼ばれる基本的な構成要素を積み重ねることで構築されます。具体的には、これらの胞体が空間内でどのように貼り合わせられるかによって、全体の位相的な構造が規定されます。

ここでいうn次元の「閉胞体」とは、n次元ユークリッド空間内の閉じた球体と同じ位相的構造（同相）を持つ空間のことを指します。例えば、n次元の単体（3次元なら四面体など）や、より一般的な凸超多面体なども閉胞体の一種と見なせます。一方、「開胞体」は、閉球体の内部と同じ位相的構造を持つ空間です。特殊なケースとして、0次元の胞体は一点空間と定義されます。

より厳密に定義すると、CW複体とは、ハウスドルフ空間と呼ばれる一種の位相空間Xが、開胞体と呼ばれる部分集合の集まり{e_α^k}に分割されている空間を指します。この分割は、以下の二つの重要な性質を満たす必要があります。

第一に、個々のn次元開胞体e_α^nについて、n次元の閉球体D^nから空間Xへの連続写像fが存在します。この写像fは、D^nの内部に限定すると開胞体e_α^nへの同相写像となります。さらに、D^nの境界∂D^nは、元の分割に含まれる有限個の胞体の合併に写像され、それらの胞体の次元はすべてn未満である必要があります。この「境界がより低い次元の有限個の胞体で覆われる」という性質が、名前の由来にもなっている「閉包有限性」に対応します。

第二に、空間Xの部分集合Aが閉集合であるのは、Xに含まれる任意の胞体の閉包とAとの共通部分（交叉）が、その胞体の閉包の中で閉集合となる場合、かつその場合に限られます。この条件が「弱い位相」と呼ばれる、CW複体の位相を定める規則です。

CW複体にはいくつかの変種も存在します。例えば、「正則CW複体」では、閉球体からの貼り合わせ写像を個々の胞体の閉包に限定した場合に、それが位相的な同型写像（同相写像）となるようなより厳しい条件が課されます。また、「相対CW複体」では、空間Xの一部の部分集合が胞体の性質を持たなくても良いとされ、その部分集合を便宜的に-1次元の胞体として扱うことで定義が拡張されます。

具体例をいくつか挙げましょう。実数直線Rには、0次元の胞体として整数点Zを取り、1次元の胞体として隣り合う整数点を結ぶ閉区間[n, n+1]を取る標準的なCW構造があります。同様に、n次元ユークリッド空間R^nも、1次元の場合の胞体（点と線分）を直積することで得られる立方体状の胞体を用いた標準的なCW構造を持ちます。これはR^nの標準的な立方格子構造と対応します。

私たちの身近にある多面体や、点と線で構成されるグラフもCW複体の例です。特にグラフは、頂点を0次元胞体、辺を1次元胞体とする1次元のCW複体と見なせます。

さらに、n次元球面S^nは、一点を0次元胞体とし、残りの部分全体をn次元胞体とする、非常に単純なCW構造を持つことができます。また、n次元実射影空間P^n(R)は、各次元に一つずつ胞体を持つCW構造を受け入れます。グラスマン多様体のような複雑な空間も、「シューベルトセル」と呼ばれる胞体を用いたCW構造を持つことが知られています。

位相幾何学や代数幾何学で現れる多くの空間、例えば微分可能多様体や代数多様体、射影多様体などは、それ自体がCW複体であるとは限りませんが、ホモトピーのレベルではCW複体と区別できない、つまりCW複体と同じホモトピー型を持つことが知られています。

一方、無限次元の空間、例えば無限次元ヒルベルト空間などは、通常CW複体ではありません。これは、CW複体が持つ特定の構造（可算個のスケルトンで構成されることなど）と相いれない性質を持つためです。

このように、CW複体は位相空間の複雑さを整理し、ホモトピー論的な性質を調べる上で非常に効果的な枠組みを提供します。その柔軟性と構造の明確さから、現代の代数トポロジーにおいて不可欠なツールとなっています。

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