GCD整域

GCD整域について

定義

GCD整域（最大公約元整域）は、任意の二つの非零元が最大公約元（GCD）を持つ整域を指します。この性質によって、整域内の任意の二元が最小公倍元（LCM）も持つことが示されます。ここで注意が必要なのは、GCDは一般的に唯一でないことです。しかし、互いに同伴すなわち単元を掛けることで変化しない範囲において、二元aとbに対するGCDは一意に決まります。従って、gcd(a, b)と記すことに問題はありません。

このGCDの集合は次のように定義されます。GCD(a, b) ≔ {c ∈ R | cはaとbのGCD}となります。ここでは、gcd(a, b)がこの集合に含まれ、特にGCD(0, 0) = {0}やGCD(1, a) = U(R)（Rの単元群）が成り立ちます。

GCD整域と他の整域の関係

GCD整域は一意分解整域（UFD）の概念を一般化するものです。具体的には、整域がUFDであることは、主イデアルに関する昇鎖条件を満たすGCD整域であることと同値です。特にネーター的なGCD整域はUFDでもあります。

GCD整域は以下のような包括関係に位置付けられます。

• - 可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ GCD整域 ⊃ 一意分解整域 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド整域 ⊃ 可換体 ⊃ 有限体

性質

GCD整域の全ての既約元は素元であり、また、整域自体が整閉であるため、全ての非零元はprimal（基本元）です。つまり、GCD整域はシュライアー整域でもあります。

さらに、GCD整域Rにおける任意の元xおよびyに対して、GCD dとLCM mは次の式を満たします：dm = xy。これは、xとyが非零元でありdがそのGCDであるならば、xy/dはxとyのLCMになることを意味します。

商集合

互いに同伴という同値関係「∼」に基づく商集合R/∼は、LCMとGCDを交わりと結びとして持つ分配束となります。これによれば、GCD整域が成り立つ条件が示されます。

多項式環の性質

GCD整域Rから得られる多項式環R[X1, …, Xn]もGCD整域になります。さらに群環R[G]も、任意のねじれのない可換群Gに対してGCD整域となります。

GCD整域となるための条件は、限られた個の主イデアルの交わりがまた主イデアルとなることであり、とりわけ(a) ∩ (b) = (lcm(a, b))が成り立ちます。

ガウスの補題

GCD整域の一変数多項式fに関して、その係数のGCDを内容(content) c(f)として定義できます。この場合、ガウスの補題が成り立ち、次のように述べられます：多項式の積の容量は、多項式の容量の積に等しい、すなわちc(fg) = c(f)c(g)です。

具体例

一意分解整域はGCD整域の特例であり、特に原子整域としての性質を持った整域でもあります。また、ベズー整域もGCD整域に分類されますが、必ずしもUFDであるとは限りません。さらに、非原子的なGCD整域は、GCD整域でありながら一意分解整域やベズー整域を成さない場合もあります。

GCD整域の性質を理解することで、数学やその関連分野における多くの理論を深く掘り下げる手助けとなります。色々な整域の関係を理解し、相互の性質を学ぶことは、数論や代数幾何学の高度な研究にもつながります。

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