GNS表現

GNS表現についての詳細

GNS表現、またはGelfand-Naimark-Segal（GNS）表現は、作用素代数や数理物理学で用いられる重要な概念です。この手法は、C-代数に関連しており、状態と呼ばれる正値線形汎関数が与えられたとき、ヒルベルト空間上に有界作用素を構成する方法です。

GNS表現の由来

GNSの名称は、1940年代にこの理論を提唱した三人の数学者、ゲルファント（Gelfand）、ナイマルク（Naimark）、シーガル（Segal）の頭文字に由来します。GNS表現は、物理学と数学の間の重要な橋渡しを提供しています。

定義と基本概念

C-代数を$ extmath{A}$とし、状態$ extmath{ extphi}$が次の性質を満たすように定義します。

1. 線形性: 状態は、任意の元$ extmath{A}, extmath{B} ext{の線形結合に対してアドバイザを持ちます。}$
2. 正値性: 任意の元$ extmath{A}$に対し、$ extmath{ extphi(A^A) ext{は非負でなければならない。}$
3. 規格化条件: 状態のノルムが1であること。

これにより、GNS表現は、特定のヒルベルト空間$ extmath{ ext{H}_ extphi}$上の有界作用素の代数への-準同型写像、$ extmath{ ext{π}_ extphi}$を構成します。この写像は、与えられた状態に基づいて特定の元を生成します。

巡回ベクトル

GNS表現では、ある元$ extmath{ ext{Ω}_ extphi}$が存在し、これが巡回ベクトルと呼ばれます。この巡回ベクトルに対し、作用素が作用することで生成される空間は、$ extmath{ ext{H}_ extphi}$全体をカバーします。そのため、GNS表現は、物理的理論がどのように構築されうるかを示す強力なツールです。

また、GNS表現により導入される組$ ext{(H}_ extphi, ext{π}_ extphi, ext{Ω}_ extphi ext{)}$はGNS構成と呼ばれ、ユニタリ同値を除いて一意的です。これにより、異なるGNS構成があっても、対応するユニタリ作用素が存在することから、同じ理論に基づくことが保証されています。

既約表現と純粋状態

GNS構成において、巡回ベクトルから生成される元は、場の量子論のフォック空間での真空状態の生成と比較できます。特に、表現が既約である場合、不変部分空間がゼロベクトルのみであることが条件です。

純粋状態とは、与えられた状態が異なる二つの状態の非自明な凸結合で表せない場合を指します。このような状態が導くGNS表現は、非常に重要な性質を持ちます。

GNS表現の構成方法

GNS表現の構築の核心は、与えられた状態から内積を導入し、その内積に基づいてノルムで完備化されたヒルベルト空間を作成することです。これにより、新たな空間内での作用が可能となり、物理理論の分析に役立ちます。

特に、GNS表現を用いることで、C*-代数の構造を理論的に深く理解する手助けとなります。このように、GNS表現は数学と物理の交差点で生まれた有力なフレームワークとして、幅広い応用が期待されています。

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