ユニタリ作用素

ユニタリ作用素：ヒルベルト空間の構造を保つ写像

函数解析学において、ユニタリ作用素はヒルベルト空間の構造を保つ重要な役割を担う写像です。本記事では、ユニタリ作用素の定義、性質、具体例、そして関連する概念について詳細に解説します。

定義と基本性質

ヒルベルト空間H上の有界線型作用素U:H→Hがユニタリ作用素であるとは、以下の条件を満たすことを言います。

UU = UU = Id

ここで、UはUのエルミート共役、Idは恒等作用素です。この条件は、Uが全単射であり、かつ内積を保つことを意味します。すなわち、任意のベクトルx,y∈Hに対して、以下の式が成立します。

⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩

UU = Id を満たす作用素は等距作用素、UU = Id を満たす作用素は余等距作用素と呼ばれます。ユニタリ作用素は、等距かつ余等距である有界線型作用素と言えるのです。

さらに、Uの値域がHにおいて稠密であり、内積を保つという、一見緩い条件でもユニタリ作用素を定義できます。この条件の下では、Uは有界な逆作用素U⁻¹を持ち、U⁻¹ = Uが成り立ちます。また、内積の線型性と正定値性から、作用素の線型性は自動的に満たされるため、定義から線型性の仮定を落とすことも可能です。

具体例

いくつかのユニタリ作用素の例を挙げましょう。

恒等写像: 最も単純なユニタリ作用素です。
R²またはR³における回転: 回転はベクトルの長さとベクトル間の角度を変えないため、ユニタリ作用素となります。
複素数への絶対値1の複素数の乗算: 複素数全体をベクトル空間と見なした場合、絶対値1の複素数を掛ける操作はユニタリ作用素となります。この場合、ユニタリ作用素全体の集合は単位円と同一視できます。
ユニタリ行列: 有限次元ヒルベルト空間上のユニタリ作用素はユニタリ行列に対応します。直交行列は、実数成分を持つユニタリ行列です。
両側ずらし作用素: 整数全体で添字付けられた数列空間ℓ²上の両側ずらし作用素もユニタリ作用素です。一般的に、ヒルベルト空間上の正規直交基底の並べ替えはユニタリ作用素になります。
フーリエ作用素: フーリエ変換（適切な正規化を施したもの）はパーシヴァルの定理によりユニタリ作用素となります。

スペクトルと性質

ユニタリ作用素Uのスペクトルは単位円上に存在します。つまり、スペクトルに含まれる任意の複素数λに対して、|λ| = 1が成り立ちます。これは正規作用素に対するスペクトル定理から導かれます。

一般化

ユニタリ作用素の概念は、より一般的に単位的-環におけるユニタリ元へと拡張されます。単位的-環の元Uがユニタリ元であるとは、UU = UU* = Iを満たすことを言います。ここで、Iは単位元です。

まとめ

ユニタリ作用素は、ヒルベルト空間の構造を保つ重要な写像であり、数学の様々な分野で応用されています。本記事では、その定義、基本的な性質、具体的な例、そしてより一般的な概念であるユニタリ元までを解説しました。これらの概念を理解することで、函数解析学や関連分野のより深い理解につながるでしょう。

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