H定理

H定理：エントロピー増大の謎に迫る

H定理とは、統計力学において理想気体のエントロピーが不可逆過程において増大することを示す重要な定理です。1872年、ルートヴィッヒ・ボルツマンによってボルツマン方程式の考察から導き出されました。これは、熱力学第二法則、すなわちエントロピーは常に増大するという法則を、ミクロな分子の運動から説明しようとする試みです。

H定理の中心となる概念は、速度空間上の積分によって定義されるHという量です。これは、粒子の速度に関する確率密度関数Pを用いて、H ≡ ∫P(lnP)d³v と表されます。興味深いことに、この式は後の情報理論でクロード・シャノンが定義した情報エントロピーと同じ形をしています。

ボルツマンは、ボルツマン方程式を用いてこのHの値を求めました。ボルツマン方程式は粒子間の衝突を考慮しますが、一般的には複雑で計算が困難です。そこでボルツマンは、「分子的混沌の仮定」を導入しました。これは、2粒子の速度間に相関がないという仮定です。この仮定の下で計算を行うと、Hの時間変化は常に負または0となり、Hは決して増大しないことが示されます。

さらに、N個の統計的に独立な粒子からなる系では、熱力学エントロピーSとHの間に、S ≡ -NkH という関係が成り立ちます。したがって、H定理はエントロピーSが減少しないことを意味します。

しかし、H定理は発表以来、多くの批判にさらされてきました。ヨハン・ロシュミットは、「時間対称的な力学から不可逆過程が導かれるはずがない」と反論しました（ロシュミットの逆行性批判）。これは、ミクロな力学法則は時間反転に対して対称なのに、巨視的なエントロピー増大則が時間非対称であるという矛盾を指摘するものです。この批判に対するボルツマンの回答は、分子的混沌の仮定でした。この仮定により、巨視的には時間対称性が破れると説明されました。

一方、エルンスト・ツェルメロは、ポアンカレの再帰性定理に基づき、「どんな系も、いつかはもとと同じ微視的状態に戻る」と主張しました（ツェルメロの再帰性批判）。これは、Hが再び増大する可能性を指摘するものです。これに対しては、同じ状態に戻る確率はゼロではないが、その時間は途方もなく長いため、現実的には無視できるという反論がなされました。

その後、ギブズは1902年、別の方法でHを定義し、Hが減少することを示しました。ギブズのHは、相空間内の分布関数を有限微小体積で平均化（粗視化）したものに基づいて定義され、ボルツマンのHとは異なります。ギブズのHは平衡状態に向かって減少する傾向を示し、平衡状態ではボルツマンのHと一致するなど、ボルツマンのH定理を一般化したと解釈できます。しかし、非平衡定常状態をうまく説明できないという問題も指摘されています。

さらに、量子力学に基づいた証明や、カオス理論を用いた説明も試みられていますが、完全な解答はまだ得られていません。H定理、ひいてはエントロピー増大則の完全な理解は、現代物理学における重要な未解決問題の一つです。H定理は、エントロピーが減少する確率がゼロではないものの、現実的には無視できるほど小さいことを主張しています。その確率の具体的な見積もりは、20世紀末に提出されたゆらぎの定理によって可能になりました。

H定理をめぐる議論は、ミクロな可逆性と巨視的な不可逆性の関係という、物理学の基本的な問題に迫るものです。今後も、この問題の解明に向けた研究が続けられるでしょう。

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