ボルツマン方程式

ボルツマン方程式：希薄気体のミクロな世界を解き明かす

ボルツマン方程式は、希薄気体における粒子の運動を記述する重要な方程式です。気体分子運動論の中核を担い、熱伝導や拡散といった輸送現象の理解に不可欠な役割を果たしています。この方程式は、粒子間の2体衝突の効果を可能な限り正確に考慮することで、気体のミクロな挙動をマクロな性質と結びつける橋渡しとなります。

方程式の構成と意味

ボルツマン方程式は、時刻tにおける粒子の速度分布関数f(x, v, t) を用いて表現されます。ここで、xは位置、vは速度を表し、f(x, v, t)dxdvは位相空間のある体積要素dxdv内にある粒子の数を示します。希薄気体では、3つ以上の粒子が同時に相互作用する多体衝突は無視できるため、2体衝突のみを考慮することで方程式が簡潔に記述されます。

方程式の右辺は、ボルツマンの衝突項と呼ばれ、衝突によって速度vの粒子が生まれる項と失われる項の差で表されます。この項には、衝突する粒子の速度、微分断面積などが含まれ、粒子間の相互作用の詳細が反映されています。微分断面積は、粒子間の力と相対位置によって決まる量です。

H定理とエントロピー増大則

ボルツマンは、この方程式を用いてH定理を証明しました。H定理は、孤立系におけるH関数と呼ばれる量の時間が経つにつれて減少するか一定値にとどまることを示しています。このH関数は、系のエントロピーSとS = -kHという関係を持ちます（kはボルツマン定数）。したがって、H定理は系のエントロピーが増大するか一定値にとどまることを意味し、エントロピー減少則を満たしません。エントロピーが一定値にとどまるのは、粒子の速度分布がマクスウェル分布に従う場合に限られます。

しかし、この定理は孤立系に限ったものではなく、空間的に一様な系であれば、同様の結論が得られます。空間的に非一様な系では、エントロピーのやり取りが生じるため、エントロピーの非減少は保証されません。

H定理は、力学の可逆性との関係で長年にわたり議論の的となり、ボルツマン方程式の物理的解釈を深める上で重要な役割を果たしました。その概念は、ボルツマン方程式にとどまらず、より広い物理学の分野で応用されています。

気体論への応用：粘性係数などの導出

ボルツマン方程式は、気体分子運動論の基礎方程式として、気体の様々な性質を説明する上で重要な役割を果たします。しかし、非線形微分積分方程式であるため、解析的に解くことは容易ではありません。

1917年、エンスコグはボルツマン方程式を解いて粘性係数などの輸送係数を導出する方法を初めて提示しました。その後、チャップマンらによる研究で、この方法を用いて得られた輸送係数が他の方法で得られたものと一致することが確認され、ボルツマン方程式による気体論は大きく発展しました。Chapman & Cowling (1939) の著書は、その成果をまとめた重要な文献です。

ボルツマン方程式は、気体分子運動論、統計力学、そして現代物理学においても重要な役割を果たし続けています。その複雑さと奥深さゆえ、現在でも研究が続けられ、新たな知見が得られ続けています。

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