Invariant basis number

IBN（Invariant Basis Number）についての考察

環論の分野での重要な概念の一つに、invariant basis number（IBN）があります。これは環 R 上のすべての有限生成自由左加群が明確に定義された階数を持つことを指します。特に、体の場合においては、有限次元ベクトル空間がユニークな次元を持つという命題に結びつきます。

IBNの定義

IBNを持つ環 R とは、どんな正の整数 m と n に対しても、Rm が Rn に同型であるとき、必ず m = n となる特性を示す環です。言い換えれば、異なる正整数 m と n に対して、Rm と Rn が同型である可能性はないということです。この定義の行列形式での解釈も存在し、m×n 行列 A と n×m 行列 B が AB = I かつ BA = I を満たすならば、必ず m = n となります。この形での定義は、IBNの特性が加群としての同型に依存するものであることを示しています。

IBNの議論

IBNの主要な目的は、IBNを備えた環上の自由加群がベクトル空間の次元に関する定理を類似して満たすことにあります。すなわち、IBN環上の自由加群において、2つの基底は同じ濃度を持つことを示しています。選択公理よりも脆弱な条件であるultrafilter lemmaを用いることで、この事実は定義と同等であることが証明できます。

IBN 環 R 上の自由加群 Rn の階数は、与えられた任意の R-加群 Rm のインデックスとして定義されます。より具体的には、自由 R-加群のすべての同型類において、一意的な階数が定義されることを示唆しています。階数はIBNを満たさない環に対しては明確には定義されないため、この特性はIBN環特有です。ここでの階数は、ベクトル空間においては次元と同義です。

具体例

すべての可換環、特に体はIBNを満たします。これは有限次元ベクトル空間が明確な次元を持つことの具体例です。また、任意の左ネーター環や半局所環もIBNを持っています。

IBNを持たない環の一例として、列有限行列の環 \( ext{CFM}_{ ext{N}}(R) \) が挙げられます。この環では、各列が有限個の非ゼロ成分のみを持つ制約を受けます。この環においては、R上の可算ランクの自由加群の同型が示され、特定の性質が確認できます。具体的には、任意の正の整数 n に対し \( S \cong S^n \) が成立しますが、これはIBNを満たさない環の特性を疑問視するものです。

他の結果

IBNの特性はまた、零因子を持たない環が可除環に埋め込まれるための必要条件でもあります。すべての非自明なstably finite ringはIBNを持つことが知られています。そして、非可換体の拡大において興味深い結果があります。すなわち、体の拡大 K ⊂ L において、L は K 上左から見て m 次元、右から見て n 次元となる場合が存在します。

参考文献

• - Abrams, G., & Ánh, P. N. (2002). “Some ultramatricial algebras which arise as intersections of Leavitt algebras”, J. Algebra Appl.
• - Hungerford, T. W. (1980). Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 73. New York: Springer-Verlag.
• - Lam, Tsi-Yuen (2001). A First Course in Noncommutative Rings. Graduate Texts in Mathematics, 131 (2nd ed.).
• - 堀田良之『可換環と体』岩波書店、2006年。
• - 岩永恭雄、佐藤眞久『環と加群のホモロジー代数的理論』日本評論社、2002年。

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