Tor関手

Tor 関手についての概要

ホモロジー代数における Tor 関手は、テンソル積の関手から導かれる重要な道具です。この関手は、Künneth の定理や普遍係数定理を表現するために、代数トポロジーを基にして最初に定義されました。これから、Tor 関手の基本的な構成や特性について説明します。

構成

環 R を用いて、左 R 加群の圏 R-Mod と右 R 加群の圏 Mod-R を考えます。ここで、左 R 加群の一例として B を選びます。Mod-R の任意の対象 A に対して、T(A) = A⊗R B を設定します。これにより、T は Mod-R からアーベル群の圏 Ab への右完全関手として機能します。その結果、左導来関手 LnT も定義されます。

具体的には、次のように表現されます。
$$ ext{Tor}_n^R(A, B) = (L_n T)(A)$$
この式を通じて、行列の射影分解を利用して A の項を取り除いた後、B をテンソルすることで得られる複体へと進みます。

複体とホモロジー

複体は次の形を取ります。
$$egin{align*}
ext{⋯} &
ightarrow P_2 ensor_R B ⟶ P_1 ensor_R B ⟶ P_0 ensor_R B
ightarrow 0
ext{⋯}
ext{この複体のホモロジーを計算することで、 } ext{Tor} に関連する情報を得ることができます。
ext{性質}
ext{すべての } n ≥ 1 に対して、TorRn は Mod-R × R-Mod から Ab への加法的関手です。R が可換であれば、Mod-R × Mod-R から Mod-R への加法的関手に変化します。また、すべての短完全列から長完全列が導出されます。

正の整数 n に対する特性

特に、R が可換で、r ∈ R が零因子でない場合、$$ ext{Tor}_1^R(R/(r), B) = ig">{b ext{ ∈ B : } rb = 0 ext{ }$$と表され、これが「トーション」という用語の由来です。また、すべての n ≥ 2に対して、$$ ext{Tor}_ ext{Z}(A,B) = 0$$ である理由は、自由アーベル群が自由分解を持つためです。

フィルター余極限

Tor 関手はフィルター余極限と任意の直和を保つ特性を持っています。すなわち、次の自然同型が存在します。
$$ ext{Tor}_n^Rigg(igoplus_i A_i, igoplus_j B_jigg) ext{ ≃ } igoplus_i igoplus_j ext{Tor}_n^R(A_i, B_j)$$

平坦加群と其の性質

加群 M ∈ Mod-R が平坦であることと、$$ ext{Tor}_R^1(M, -) = 0$$であることが同値です。そのため、この条件下ではすべての n≥1 に対して $$ ext{Tor}_R^n(M, -) = 0$$ となります。実際、Tor 関手を計算する際には、射影分解に代えて A または B の平坦分解を利用することができます。

参考文献

詳細な学習を希望する方には、Charles A. Weibel の "An Introduction to Homological Algebra" をお勧めします。この書籍では、ホモロジー代数に関する包括的な情報と理論が提供されています。

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