アニュラス

アニュラス（円環）とは



数学において、アニュラス（羅: annulus）または円環とは、二つの同心円によって囲まれた、リング状の領域を指します。これは、ドーナツのような形を思い浮かべると理解しやすいでしょう。アニュラスは、幾何学、複素解析など、様々な数学の分野で重要な役割を果たします。

数学的定義



アニュラスは、内側の円の半径を \(r\)、外側の円の半径を \(R\)（ただし \(r < R\)）とすると、これらの円によって囲まれた領域として定義されます。

開アニュラス


開アニュラスは、境界を含まないアニュラスであり、円柱側面 \(S^1 × (0,1)\) や穴の開いた平面 \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\} \) と同相です。これは、アニュラスが連続的に変形できる対象であることを意味します。

アニュラスの面積



アニュラスの面積 \(A\) は、外側の円の面積から内側の円の面積を引くことで求められます。

\begin{align}
A &= \pi R^2 - \pi r^2 \\
&= \pi (R^2 - r^2)
\end{align}

また、アニュラス内に完全に収まる最長の線分（\(2d\)）を用いて面積を求めることもできます。この最長の線分は内側の円に接し、その接点における半径と直角をなします。ピタゴラスの定理により、\(d\) と \(r\) は斜辺 \(R\) の直角三角形の辺となるため、面積は次のようにも表されます。

\begin{align}
A &= \pi (R^2 - r^2) \\
&= \pi d^2
\end{align}


微分積分による面積計算


アニュラスの面積は、微分積分学を用いて計算することも可能です。アニュラスを幅 \(d\rho\)、面積 \(2\pi \rho d\rho\) の無限小のアニュラスに分割し、\(\rho = r\) から \(\rho = R\) まで積分することで、面積を求められます。

\begin{align}
A &= \int_r^R 2\pi \rho \, d\rho \\
&= \pi (R^2 - r^2)
\end{align}

円環扇形の面積


中心角 \(\theta\) ラジアンに対する円環扇形の面積は、次のように表されます。

\begin{align}
A = \frac{\theta}{2} (R^2 - r^2)
\end{align}

複素構造



複素解析において、複素数平面上のアニュラス \(\text{ann}(a; r, R)\) は、次のように定義される開領域です。


\begin{align}
r < |z - a| < R
\end{align}

ここで、\(a\) は中心、\(r\) は内半径、\(R\) は外半径を表します。\(r = 0\) の場合、この領域は点 \(a\) を中心とする穴あき円板（punctured disk）となります。

複素平面の部分集合として、アニュラスはリーマン面と見なすことができます。アニュラスの複素構造は、半径の比 \(r/R\) のみに依存します。実際、アニュラス \(\text{ann}(a; r, R)\) は、写像 \(z \mapsto (z - a) / R\) によって、中心が原点、外半径が 1 である標準アニュラス \(\text{ann}(0; r/R, 1)\) に正則に写像されます。

アダマールの三円定理



アダマールの三円定理は、正則関数がアニュラスの内部で取り得る最大値について述べる重要な定理です。この定理は、複素解析における関数解析において重要な役割を果たします。

関連事項



  • - 円板: アニュラスの特殊なケースとして、内半径 \(r=0\) の場合は円板になります。
  • - 円環予想: 位相幾何学における重要な予想で、アニュラスの一般化に関連します。
  • - 球殻: アニュラスを三次元に拡張した概念です。
  • - トーラス: アニュラスを回転させて得られる立体図形です。
  • - 図形の一覧: 数学におけるさまざまな図形の一覧。

外部リンク




アニュラスは、数学の様々な分野で登場する基本的な概念であり、その理解は数学的な思考を深める上で非常に重要です。

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