レゾルベント

レゾルベントについての解説

数学において、レゾルベント（英: resolvent）は、線型作用素や行列のスペクトルに関連した重要な概念です。特に、線型作用素のスペクトルの補集合を定義域とする解析函数として考えられています。これにより、線型作用素のスペクトルに関する性質を深く理解することが可能となります。

レゾルベントの定義

与えられた線型作用素 $A$ のレゾルベントは、$A$ のレゾルベント集合 $\rho(A)$ （これは $A - zI$ が可逆であるような全ての $z$ の集合）上で定義されます。具体的には、次のように表されます：

$$ R(z,A) := (A - zI)^{-1} $$

この定義において、$R(z,A)$ は背理的に $A$ の逆作用素であることを示しています。一部の文献では、$R(z,A) := (zI - A)^{-1}$ と定義されることもありますが、ほとんどの場合、結果は変わりません。

レゾルベントの性質

線型作用素 $A$ に対して、そのレゾルベント $R(z,A)$ は、$A$ のスペクトル半径を $r$ としたとき、$|z| > r$ である領域において解析函数です。このレゾルベントはノイマン級数としても表現できます：

$$ R(z,A) = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{A^n}{z^{n+1}} $$

これにより、レゾルベントは不安定作用素のスペクトル分解を記述するための有用なツールとなります。たとえば、$\lambda$ を $A$ の孤立した固有値とすると、その留数は $A$ の $\\lambda$-固有空間への射影作用素を決定する上で重要です。この際、留数の計算には閉曲線 $C_{\lambda}$ を用います。

ヒレ-吉田の定理

ヒレ-吉田の定理は、レゾルベントを $A$ が生成する変換の一径数群に関連付けます。具体的には、$A$ がエルミート作用素であれば、次のような式で示される一径数群 $U(t) = \exp(itA)$ の中で、レゾルベント $R(z,A)$ は次のように積分で表現されます：

$$ R(z,A) = \int_{0}^{\infty} e^{-zt}U(t)dt $$

レゾルベント方程式

レゾルベントに関する二つの重要な方程式、第一および第二レゾルベント方程式は、計算過程において非常に役立ちます。これらの方程式は線型作用素のレゾルベント集合から異なる $z$ や $w$ を選ぶことで導出されます。

第一レゾルベント方程式は次のように表されます：

$$ R(w,A) - R(z,A) = (z - w) R(z,A) R(w,A) $$

第二レゾルベント方程式も同様に、異なる線型作用素 $A$ と $B$ に対して、次のように表されます：

$$ R(z,A) - R(z,B) = R(z,A) (A - B) R(z,B) $$

これらの方程式は、レゾルベントを用いて様々な問題を効率的に解決するための新たなアプローチを提供します。

結論

レゾルベントは線型作用素や行列の解析において非常に強力なツールです。その定義や性質は、スペクトル理論や複素解析における多くの問題解決に寄与しており、我々の理解を深めるために欠かせない概念です。歴史的背景も含め、現代の数学において重要な役割を果たしています。

もう一度検索