エルミート作用素

エルミート作用素

エルミート作用素（英: Hermitian operator）は、現代数学、特に線形代数学や関数解析学、そして物理学の量子力学において非常に重要な役割を担う特殊な線形作用素です。名称は、19世紀のフランスの数学者シャルル・エルミートに由来しており、彼の行列に関する研究にその源流を見出すことができます。

定義

数学的には、エルミート作用素は複素ヒルベルト空間と呼ばれる特別なベクトル空間の上で定義される線形作用素であり、「自身の共役（随伴）作用素と等しい」という性質を持つものとして定義されます。より厳密に述べると、複素数値を返す内積$\_<\bullet, \bullet>\_$を備えた複素ヒルベルト空間 $H$ 上で定義された線形作用素 $h$ が、その定義域 $D(h)$ に含まれる任意の2つの元 $\xi, \eta$ に対して、次の関係式を満たす場合にエルミート作用素と呼ばれます。

$\qquad = <\xi, h\eta>$

量子力学などの物理学の分野では、「作用素」という言葉の代わりに「演算子」という言葉がよく用いられるため、エルミート作用素は「エルミート演算子」と呼ばれることも一般的です。

関連する概念

無限次元のヒルベルト空間を扱う際には、エルミート作用素と関連する、しかしより厳密な概念が導入されます。

対称作用素 (Symmetric Operator)

無限次元ヒルベルト空間 $H$ の稠密な部分空間 $D$ 上で定義された線形作用素 $h$ が、定義域 $D$ の任意の元 $\xi, \eta$ に対して上記のエルミート条件 $ = <\xi, h\eta>$ を満たす場合、この作用素は対称作用素と呼ばれます。有限次元空間ではエルミート作用素と対称作用素は同じ概念ですが、無限次元では区別されることがあります。

自己共役作用素 (Self-Adjoint Operator)

対称作用素 $h$ が、さらにその定義域に関してある追加の条件を満たすとき、自己共役作用素（または自己随伴作用素）と呼ばれます。この追加条件は、簡単に言うと「作用素 $h$ の共役作用素 $h^$ の定義域が、元の作用素 $h$ の定義域と一致する」という性質に関連します。より正確には、「$\eta \mapsto <\xi, h\eta>$ が定義域 $D$ 上で有界となるような $\xi$ 全体の集合が、定義域 $D$ と一致する」という条件を満たす場合を指します。

「自己共役」や「自己随伴」という名称は、一般的に線形作用素 $\psi$ に対して、内積を用いて $<\psi^\xi, \eta> = <\xi, \psi\eta>$ を満たす作用素 $\psi^$ を $\psi$ の共役作用素（または随伴作用素）と呼ぶことに由来します。エルミート作用素や自己共役作用素は、まさに自分自身の共役作用素と一致する性質を持つため、このように呼ばれるのです。

例

具体的なエルミート作用素の例としては、以下のようなものが挙げられます。

エルミート行列: 有限次元の複素ベクトル空間における線形変換を行列で表した場合、その行列 $A=(a_{ij})$ が自分自身の転置複素共役行列 $A^$ と等しい、つまり $A^ = A$ を満たすときにエルミート行列と呼ばれます。これは各要素について $a_{ij} = \bar{a}_{ji}$ （$\bar{a}_{ji}$ は $a_{ji}$ の複素共役）が成り立つことと同値であり、有限次元におけるエルミート作用素の典型的な例です。

微分作用素: 実数直線上の二乗可積分関数全体がなすヒルベルト空間 $L^2(\mathbb{R}, dx)$ において、適切な定義域を設定した上で考えられる作用素 $f \mapsto i\frac{df}{dx}$ （$i$ は虚数単位）は、非有界な作用素ですが自己共役作用素となります。

重要な性質

エルミート作用素、特に物理学で重要な自己共役作用素は、いくつかの際立った性質を持ちます。

固有値の実数性: エルミート作用素の固有値は必ず実数です。これは物理量の観測値が実数であるという要請と整合します。
固有ベクトルの直交性: 異なる固有値に属するエルミート作用素の固有ベクトルは必ず互いに直交します。
対角化可能性: エルミート行列はユニタリ行列によって実対角行列に相似変換することができます。無限次元の自己共役作用素に対しても、スペクトル分解定理という形でこの対角化の概念が一般化されます。

物理学における意味

量子力学では、観測可能な物理量（オブザーバブル）は自己共役作用素に対応づけられます。これは、物理量の観測値が常に実数であるという事実に、エルミート作用素（自己共役作用素）の固有値が実数であるという数学的性質が対応しているためです。量子系を記述する波動関数に物理量に対応する演算子を作用させ、その固有値問題を解くことで、観測されうる値やその確率分布を知ることができるのです。したがって、エルミート作用素は量子力学の形式において根幹をなす概念の一つと言えます。

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