射影作用素

射影作用素：線形代数と関数解析における投影の一般化

線形代数や関数解析において、射影作用素（または単に射影）は、幾何学的な投影概念を一般化した重要な概念です。ベクトル空間上の線形変換であり、ベクトルを特定の部分空間へ写像する役割を果たします。

有限次元ベクトル空間における射影作用素

有限次元ベクトル空間V上の線形変換P: V → Vが射影作用素であるとは、冪等律P² = Pを満たすことをいいます。これは、任意のベクトルvに対して、Pvをvの射影と呼び、Pvをさらに射影しても、Pvと変わらないことを意味します。

ベクトル空間VがU⊕Wのように直和分解されている場合、射影作用素Pはv = u + w (u ∈ U, w ∈ W) を u に写す変換として理解できます。つまり、vをUへの射影を行うのです。

例：三次元空間におけるxy平面への射影

三次元空間R³の点(x, y, z)を(x, y, 0)へ写す写像は、xy平面への射影です。これは以下の行列Pで表現できます。


[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 0]


この行列Pは、任意のベクトル[x y z]ᵀに対して、[x y 0]ᵀを返すことを確認できます。さらに、P² = Pであることから、Pが射影作用素であることも確かめられます。

無限次元ベクトル空間における射影作用素

無限次元ベクトル空間、例えばヒルベルト空間Hでは、連続性を考慮する必要があります。H上の有界線形作用素P ∈ L(H)が射影作用素であるとは、P² = Pを満たすことを言います。さらに、自己共役性P = Pを持つとき、直交射影と呼ばれます。直交射影は、射影の値域と核が互いに直交するものを指します。

直交射影

直交射影は、射影の中でも重要なクラスです。ベクトル空間上に内積が定義されている場合、値域と核が互いに直交する射影を直交射影と呼びます。直交射影は自己共役であり、実ベクトル空間では対称行列、複素ベクトル空間ではエルミート行列で表現されます。

例：直線への直交射影

直線上の単位ベクトルuを用いて、その直線への直交射影はPᵤ = uuᵀで表されます。これは、uを不変に保ち、uに直交するベクトルを零化します。この概念は、任意次元の部分空間への直交射影に拡張できます。

斜交射影

直交射影でない射影を斜交射影といいます。値域と核が互いに直交しない射影です。斜交射影は、直交射影ほど頻繁には用いられませんが、二次元空間図形表現などにも用いられます。

射影作用素の性質と分類

冪等性: P² = P
値域と核: 射影の値域と核はベクトル空間を直和分解します。
スペクトル: 射影作用素のスペクトルは{0, 1}に含まれます。
対角化可能性: 有限次元ベクトル空間上の射影作用素は対角化可能です。

射影作用素の標準形

有限次元ベクトル空間上の射影作用素Pは、適当な基底を用いると、単位行列と零行列の直和として表現できます。また、複素ベクトル空間で内積を持つ場合は、さらに具体的な標準形が得られます。

ノルム空間上の射影作用素

ノルム空間、特にバナッハ空間では、射影作用素の連続性が重要な問題となります。連続射影の値域と核は閉部分空間でなければなりません。ヒルベルト空間では、任意の閉部分空間に対して直交補空間が存在し、それに対応する連続射影を構成できます。

射影作用素の応用

射影作用素は、線形代数や関数解析の様々な分野で応用されています。

QR分解、特異値分解などの行列分解
線形回帰
量子力学、統計力学、分子対称性などの物理学

一般化

射影作用素の概念は、ノルム空間の間の写像など、より広い文脈に一般化できます。リーマン幾何学などでも重要な役割を果たします。

まとめ

射影作用素は、線形代数と関数解析における基本的な概念であり、様々な応用を持ちます。直交射影と斜交射影、有限次元と無限次元ベクトル空間における性質の違い、計算方法、応用などを理解することで、より深い数学的理解を得ることができるでしょう。

もう一度検索