一筆書き

一筆書きの概念とケーニヒスベルクの橋問題

一筆書きとは

一筆書きの定義は、一般的には「筆記具を持ったままで平面上を離れずに線や図形を描く」という行為です。この概念には、狭い意味で「描く際に同じ線を二度なぞらない」という条件が加わります。ただし、描いた線が交差することは許されます。これにより、一筆書きできる図形とできない図形が存在します。たとえば、三角形や四角形などの基本的な形状は一筆書きで描けますが、十字形は不可能です。また、五芒星や六芒星は一筆書き可能ですが、アスタリスクはそうではありません。

ケーニヒスベルクの橋問題

一筆書きの考え方は、特に「ケーニヒスベルクの橋の問題」で明らかになります。この問題は、18世紀初頭のプロイセン王国に存在した町、ケーニヒスベルク（現在のカリーニングラード）を舞台にしています。この町にはプレーゲル川という大きな川が流れ、その上に七つの橋が架けられていました。ある日、町の人々は、これらの橋を使って、どの橋も二度渡らずにすべてを渡り、元の地点に戻ることができるかという挑戦をしました。

問題の構造

この問題を解決するために、数学者レオンハルト・オイラーが1736年に提唱したのが、いわゆる「グラフ理論」という視点です。オイラーは、この橋の配置をグラフに置き換えて考え、各橋を辺として、橋を支える土地を頂点として表現しました。このグラフが一筆書き可能であれば、すべての橋を一度だけ渡って元の位置に戻る道が存在することになります。

オイラーの証明

オイラーは、このグラフが一筆書きできないことを証明しました。その結果、ケーニヒスベルクの橋問題は解決され、全ての橋を一度も繰り返し通らずに渡ることは不可能であることが分かりました。この研究は、グラフ理論の発展に大きな影響を与え、後の数学やコンピューター科学においても重要な基盤となっています。

一筆書きの条件

一筆書きが可能かどうかを判断するルールは以下のように定められています。
1. 全ての頂点の次数（接続された辺の数）が偶数の場合：運筆が始めた場所に戻ることができます（閉路）。
2. 奇数の次数を持つ頂点が2つで、他の頂点の次数が全て偶数である場合：始点に戻らない経路が可能です（閉路ではない）。

この規則に従えば、与えられたグラフが一筆書き可能かどうかを正確に判断できます。

一筆書きの応用

一筆書きの概念は、実生活にも多くの場面で見ることができます。その一例が日本の鉄道旅行です。旅客は最短経路ではなく、出発地へ戻るために大回りの切符を利用することがあります。この行為は比喩的に「一筆書き」と呼ばれることがありますが、実際には同じ駅を二度通過することが禁止されているため、厳密に言うと一筆書きの概念とは異なります。

結論

一筆書きの問題は、数学的思考の重要性を示しており、数理的な視点から問題を解決する手法を教えてくれます。ケーニヒスベルクの橋問題はその典型であり、後のグラフ理論の礎となりました。この理論は、現代のさまざまな分野に応用されていることからも、その重要性は際立っています。

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