循環小数

循環小数（じゅんかんしょうすう、英語: recurring decimal, repeating decimal）とは、小数点以下のある桁以降で、特定の数字の並びが繰り返し無限に現れる小数を指します。この繰り返し現れる数字の最小の列は「循環節」と呼ばれます。

循環節を明確に示すためには、いくつかの表記法が用いられます。一般的なのは、循環節の全体に上線を引く（例：0.123）、循環節の先頭と末尾の数字の上に点を打つ（例：0.1·23·）、あるいは循環節全体を括弧で囲む（例：0.1(23)）といった方法です。

有理数との関連性

循環小数は必ず分数として表現できる数、つまり有理数に含まれます。ある数が特定の基数（例えば十進法での10）で循環小数として表示されるのは、その数を既約分数で表した際に、分母が基数の素因数以外の素因数を含む場合です。基数が10（素因数2, 5）の場合、分母に3や7といった素因数を含む分数は循環小数となります（例：1/3 = 0.333..., 1/7 = 0.142857...）。一方、分母の素因数が基数の素因数のみであれば、有限小数として表示されます（例：1/4 = 0.25）。

循環小数は、循環節が小数点の直後から始まる「純循環小数」と、小数点以下に循環しない有限の数字の列（非循環部）を持つ「混合循環小数」に分類されます。

有限小数も、末尾に「0」が無限に続く循環小数と見なすことが可能です（例：0.5 = 0.5000...）。さらに、正の有限小数は、末尾のゼロでない桁を1減らし、その後の桁を全て「基数−1」とする別の循環小数表現も持ちます。十進法では9なので、1は1.000...と0.999...の両方の循環小数で表現できます。0.999...が1に等しいことは、以下のような代数的な計算で示せます。


x = 0.999...
10x = 9.999...
10x - x = 9.999... - 0.999...
9x = 9
x = 1

無理数との違い

循環小数はすべて有理数ですが、無限に続く小数の中には循環しない「非循環無限小数」（無理数）も存在します。円周率（π）や√2などが無理数です。実数において、有理数と循環小数（有限小数を含む）は一対一に対応しており、循環しない無限小数が無理数であるという区別が成り立ちます。

分数への変換

どのような循環小数も必ず分数に変換することができます。これは、代数的な操作を用いることで行われます。

循環節の長さと性質

循環節に含まれる数字の個数を「循環節の長さ」と呼びます。素数 p （基数と互いに素）の逆数 1/p の循環節の長さは、p − 1 の約数となることが知られています。循環節の長さが p − 1 となる素数の逆数は、特定の性質を持つ「巡回数」となる場合があります。

N進法による違い

数の小数表示が循環小数になるか、またそのパターンは、表現に用いる基数Nによって変化します。例えば、1/5は十進法では有限小数ですが、二進法では循環小数となります。基数NのN進法において、1/(N-1)は常に0.1111...となります。

循環節の特定方法

循環小数の循環節を見つける最も基本的な方法は、割り算の筆算を実行することです。筆算を進める中で、同じ「余り」が再び現れた時点で、その後の計算過程が同じサイクルを繰り返すことが確定し、これが循環節となります。この方法は、すべての有理数が必ず循環小数または有限小数として表示されることの証明原理でもあります。余りは常に除数未満の値しか取らないため、有限回のステップで必ず同じ余りが現れるか、または割り切れるかのどちらかになるからです。素数の逆数など特定のケースでは、合同式の性質を利用して効率的に循環節の長さを求める方法もあります。

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