誤差

誤差について

誤差とは、測定や計算によって得られた値と、本来の真の値との間に生じる差のことです。この誤差は、単に数値のずれとしてだけでなく、その背後にある様々な要因を理解することで、より正確なデータ分析や意思決定が可能になります。

誤差の定義

誤差（ε）は、測定値（M）と真の値（T）の差として定義されます。

ε = M - T

真の値は、理想的な状態での値であり、実際には完全に知ることができない場合がほとんどです。そのため、誤差は、実測値から統計的に推定される量となります。データを取り扱う際には、常に様々な誤差の可能性を考慮する必要があります。

誤差の発生原因

誤差は、様々な原因によって発生します。主な原因としては、以下のものが挙げられます。

測定誤差: 測定器の精度や測定方法によって生じる誤差
計算誤差: コンピュータによる計算における丸め誤差や情報落ちなど
統計誤差: 標本調査による誤差
モデル誤差: 現象を近似する数学モデルと現実とのずれ

これらの誤差は、単独で発生するだけでなく、複合的に影響し合うこともあります。

測定誤差

測定誤差は、測定方法や測定器の特性によって発生する誤差です。測定誤差は、さらに系統誤差と偶然誤差に分類できます。

系統誤差

系統誤差とは、測定を繰り返すたびに、真の値に対して一定方向にずれてしまう誤差のことです。この誤差は、原因が特定できれば取り除くことも可能ですが、完全に除去することは困難です。

系統誤差の例としては、目盛りがずれている物差しを使用した場合などが挙げられます。この場合、測定値は常に真の値より大きくなってしまいます。

偶然誤差

偶然誤差とは、測定ごとにランダムにばらつく誤差のことです。この誤差は、測定方法自体の限界によって生じることが多く、取り除くことは困難です。しかし、測定回数を増やすことで、偶然誤差の影響を小さくすることができます。

誤差の種類

誤差は、発生する原因によって様々な種類に分類されます。ここでは、主な計算誤差の種類について解説します。

丸め誤差

丸め誤差とは、数値を丸めることによって生じる誤差です。コンピュータで数値を扱う際、有限の桁数で表現するために、数値を丸める必要があり、その際に誤差が発生します。

打ち切り誤差

打ち切り誤差とは、無限級数などの計算を有限の項数で打ち切ることによって生じる誤差です。例えば、sin x のマクローリン展開を計算する際に、無限に続く項を途中で打ち切ると、その部分で誤差が発生します。

情報落ち

情報落ちとは、絶対値の大きな数と小さな数を足し引きする際に、小さい数が無視されてしまう現象です。これは、コンピュータで数値を表現する際に、有効桁数が限られているために発生します。

桁落ち

桁落ちとは、ほぼ等しい値同士を引き算した場合に、有効数字が減少する現象です。この現象は、浮動小数点数で計算を行う際に発生しやすく、結果の精度を大きく損なう可能性があります。

誤差の伝播

複数の測定値から最終的な値を求める場合、それぞれの測定値に含まれる誤差が最終結果に影響を及ぼします。この誤差の伝播を考慮することで、より正確な結果を得ることができます。

例えば、z = f(x, y) という関係式で表される場合、zの標準偏差（sz）は以下の式で計算できます。

sz = √((∂f/∂x sx)^2 + (∂f/∂y sy)^2)

ここで、sx, sy は、x, y の標準偏差を表します。

真の値

誤差理論における「真の値」とは、測定対象の量に固有の、測定方法とは無関係な一定の値のことを指します。しかし、現実には真の値を知ることはできないため、代わりに測定によって得られた最確値を真の値として扱うことが一般的です。最確値としては、同じ測定を複数回行った場合の平均値がよく用いられます。

工業製品の設計における誤差

工業製品の設計では、製作段階での誤差を考慮して、「まち」や「あそび」を作ることで誤差を吸収するようにします。設計者は、部品製作上で許容される誤差範囲を設計に織り込んでおり、この誤差範囲を公差（寸法公差・幾何公差）と呼びます。

まとめ

誤差は、あらゆる測定や計算において不可避的に発生するものです。誤差の種類や発生原因を理解し、適切に対処することで、より正確なデータ分析や意思決定を行うことができます。また、誤差を考慮した設計を行うことで、より高品質な製品を生み出すことも可能です。

参考文献

奥村晴彦『C言語による最新アルゴリズム事典』技術評論社, 1991.
John R. Taylor 著、林茂雄, 馬場凉（訳）編『計測における誤差解析入門』東京化学同人, 2000.
カール・F・ガウス著、飛田武幸、石川耕春（訳）編『誤差論』紀伊国屋書店, 1981.
安藤洋美『最小二乗法の歴史』現代数学社, 1995.

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