超弾性

超弾性体の力学特性

超弾性とは、材料の力学的特性を記述する数理モデルの一つです。このモデルの大きな特徴は、ひずみエネルギー密度関数（単位体積あたりのひずみエネルギー）を用いて材料の挙動を表す点にあります。ゴム材料の単純化モデルとして考案された歴史を持ち、数十%から数百%もの大きなひずみ状態を扱うことができます。

構成則

材料の応力は、その変形によって一意に決まります。この関係式を構成則と呼びます。ある点の変形を記述する変形勾配テンソルFを用いて、第一ピオラ-キルヒホッフ応力テンソルPは次のように表されます。

\(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{P}(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X})\)

ここで、Xは変形前の点の位置を表します。

超弾性体の重要な性質として、ある変形過程における応力の仕事が、変形の経路に依存せず、初期状態と最終状態のみに依存するという経路非依存性があります。この性質から、ひずみエネルギー密度関数Φが存在することが導かれます。この関数は以下の積分で定義されます。

\(\Phi(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X}) = \int_{t_0}^{t} \boldsymbol{P}(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X}) : \dot{\boldsymbol{F}} dt\)

ここで、\(\dot{\boldsymbol{F}}\)は変形勾配テンソルの時間微分です。この式から、第一ピオラ-キルヒホッフ応力はひずみエネルギー密度関数の変形勾配テンソルによる偏微分として表すことができます。

\(\boldsymbol{P}(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X}) = \frac{\partial \Phi(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X})}{\partial \boldsymbol{F}}\)

右Cauchy-Green変形テンソルC (\(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\))を用いると、ひずみエネルギー密度関数はCの関数として表すことができます。

\(\Phi(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X}) = \Phi(\boldsymbol{C}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X})\)

Green-LagrangeひずみテンソルE (\(\frac{1}{2}\dot{\boldsymbol{C}} = \dot{\boldsymbol{E}}\))を用いて同様の議論を行うと、第二ピオラ-キルヒホッフ応力テンソルSは次のように表されます。

\(\boldsymbol{S}(\boldsymbol{C}(\boldsymbol{X}), \boldsymbol{X}) = 2\frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{C}} = \frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{E}}\)

非圧縮性超弾性体

多くのゴム材料は非圧縮性、もしくは微圧縮性であるため、体積変化を考慮したモデル化が必要になります。非圧縮性材料では、ヤコビアンJ(J=det(F))が常に1であり、その時間微分は0となります。この条件を考慮すると、第二ピオラ-キルヒホッフ応力は以下のようになります。

\(\boldsymbol{S} = 2\frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{C}} + \gamma J \boldsymbol{C}^{-1}\)

ここで、γはラグランジュ乗数です。平均応力pを用いると、γとpの関係は次のようになります。

\(p = \frac{1}{3}tr(\boldsymbol{\sigma}) = \frac{2}{3}J^{-1}\frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{C}}: \boldsymbol{C} + \gamma\)

\(\frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{C}}: \boldsymbol{C} = 0\)

の条件下で、γ=pとなります。この条件を満たすように、ひずみエネルギー密度関数を修正する必要があります。

偏差成分

第二ピオラ-キルヒホッフ応力の偏差成分S'は、体積変化に寄与しない部分を表し、以下のようになります。

\(\boldsymbol{S'} = 2\frac{\partial \hat{\Phi}}{\partial \boldsymbol{C}}\)

ここで、\(\hat{\Phi}\)は修正されたひずみエネルギー密度関数です。

参考文献

京谷孝史『よくわかる連続体力学ノート』森北出版、2008年12月。
社団法人　土木学会　応用力学委員会　編：いまさら聞けない計算力学の常識，丸善，2008．
* Bonet, Javier; Wood, Richard D. (2008). Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis (2nd edition ed.). Cambridge University Press

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