変形

変形の基本概念

変形（へんけい）とは、連続体力学の視点から見ると、物体がその初期状態から最終状態へと姿を変える過程を指します。変形は単に形状の変化を表すだけでなく、生物の成長、応力による破壊、折りたたみ椅子や変形玩具のように様々な要因に起因します。また、数式においても見た目を変えてもその意味合いを保つための方法として利用されることがあります。

連続体力学における変形

連続体力学の観点では、形状が変わらない場合は剛体運動が生じていると定義されます。物体は外部からの力、重力、電磁力、さらには温度変化によって変形を引き起こします。ひずみは、物体内の物質点の相対的な位置の変化を特徴付ける尺度であり、応力とひずみは一般的にフックの法則などのように構成式で関連付けられます。

弾性変形は、応力が除去された際に物体が元の状態に戻る変形を指し、逆に塑性変形は応力が降伏点に達した後でも残る変形を表します。

変形の定義と記述

変形には初期状態と最終状態があり、基準と現在の配置がそれぞれ変形前後の状態を示します。このように、基準配置の物質点の位置を\(X\)、現在配置の物質点の位置を\(x\)とし、変形勾配テンソル\(F\)で結びつけることができます。これは次のように表されます：
\[ F \equiv \frac{\partial x}{\partial X} \]

アフィン変形と剛体運動

アフィン変形は線形変換（回転やせん断）と剛体変換（平行移動）の組み合わせであり、次のように表現されます：
\[ x(X, t) = F(t) X + c(t) \]
この式で、\(F\)は時間によって変化する行列、\(c\)は平行移動を示しています。一方、剛体運動はせん断や引張、圧縮を伴わない特殊なアフィン変形であり、運動は直交行列を用いて記述されます。

変形の具体例

平面変形や単純せん断は、特定の条件下での変形を考慮した例です。平面変形では、一つの平面に制限された変形が発生し、変形勾配は次のように表されます：
\[ F = \begin{bmatrix} F_{11} & F_{12} & 0 \\ F_{21} & F_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

また、単純せん断においては、あるベクトルが固定された場合に、変形勾配は次のように記述されることがあります：
\[ F = \begin{bmatrix} 1 & \gamma & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

このように、変形の理解は様々な視点から見ることができ、応力やひずみとの関連性を通じてより深い理解を得ることが可能です。

参考文献

• - Dill, Ellis Harold (2006). Continuum Mechanics: Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity. CRC Press.
• - Hutter, Kolumban; Klaus Jöhnk (2004). Continuum Methods of Physical Modeling. Springer.
• - Lubarda, Vlado A. (2001). Elastoplasticity Theory. CRC Press.

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