ねじれ群

捩れ群の概念

捩れ群（ねじれぐん、英: torsion group）あるいは周期群（しゅうきぐん、英: periodic group）とは、そのすべての元が有限位数を持つ群のことを指します。すなわち、群の全ての要素について、それらがn回の演算によって単位元に戻るような最小の自然数nが存在します。この性質を持つ群としては、任意の有限群も含まれますが、周期群と巡回群は異なる概念です。

定義と性質

群Gがねじれ群である場合、その中のすべての元の位数の最小公倍数はGの冪数（exponent）と呼ばれます。有限群は常に冪数を持ち、この冪数は群の位数の約数となります。例えば、次のように考えられます：もしGがn個の要素を持つ群であれば、その冪数はnの約数である必要があります。

バーンサイド問題は、任意の有限生成群Gが有限であるかどうかを調べる問題ですが、Gの冪数を知ることがこの有限性を導くかどうかに関しては一般に「いいえ」とされています。さらに、無限ねじれ群の例としては、有限体上の多項式環の加法群や、有理数の加法群が整数の加法群で割った商群、さらにはプリューファー群が挙げられます。これらの群は全て有限生成ではなく、任意の有限生成のねじれ線型群は有限群となります。興味深いことに、Golodが1964年にシャファレヴィッチと共同で構成した有限生成無限周期群の存在も示されています。

数理論理学における捩れ群

捩れ群の特異な性質の一つは、その性質を一階述語論理で定式化できないことです。これは、捩れ群の重要な定義を行うために必要な公理が無限個の選言を含むためです。そのため、コンパクト性定理から導かれる結果として、ねじれ群を特徴付けることのできる一階論理式の集合が存在しないことが示されています。このような背景のもとで、もしねじれ群を特徴付ける一階論理の公理系Tが存在すると仮定した場合、新たな定数記号cを追加して全ての正整数nに対して「cの次数がn以上である」という論理式を立てることで、論理的な矛盾が生じることを確認できます。これは、Gがねじれ群でありつつも無限位数の元を含むという矛盾です。

この議論は、定数記号を追加することで「ねじれなし元を含む群」が一階論理で無限公理化可能であることも示しています。特に、ねじれのないアーベル群の公理系を考えると、それはちょうどねじれなし群であることがわかります。このように、捩れ群の構造は興味深い数理論理学的な性質を持っています。

関連概念

捩れ群に関連する概念として、アーベル群Aの捩れ部分群に言及することができます。これはAの全ての有限位数の元から成る部分群です。捩れアーベル群はその元が全て有限位数を持つアーベル群を指し、対して捩れのないアーベル群は単位元を除く全ての元が無限位数を持ちます。これらの定義は捩れ群との関係において重要な役割を果たします。

参考文献

• - Golod, Evgeny. S. (1964)
• - Aleshin, S. V. (1972)
• - Grigorchuk, R. I. (1980)
• - Grigorchuk, R. I. (1984)

捩れ群の特性や関連する数理論理学の問題についての理解を深めるために、これらの文献は非常に参考になります。

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