有限生成群

有限生成群

有限生成群（ゆうげんせいせいぐん、英: finitely generated group）とは、群論において、そのすべての要素が特定の有限集合 S の要素とそれらの逆元から有限回の積によって生成される群です。この S を生成系と呼びます。

要素数が有限である有限群は常に有限生成です。自身を生成系に取れば良いためです。しかし、有限生成群は無限群でもあり得ます。例えば、整数の加法群 Z は要素「1」のみで生成される無限巡回群であり、有限生成群です。

任意の有限生成無限群は可算群ですが、すべての可算群が有限生成ではありません。可算な有理数全体の加法群 Q は有限生成群ではありません。

有限生成群の剰余群は有限生成になります。しかし、部分群は必ずしも有限生成にはなりません。二元自由群 F₂ は有限生成ですが、その交換子部分群は無限生成です。

例外として、有限生成群の指数有限な部分群は必ず有限生成になります。自由群の場合、有限生成部分群同士の交わりも有限生成です（Howsonの定理、Hannah Neumannによる上限）。

単一の要素で生成される群は巡回群と呼ばれます。無限巡回群は Z と同型です。

任意の有限生成部分群が巡回群となる群は局所巡回的群です。Q は自身は巡回群でない局所巡回的群の例です。局所巡回的群はアーベル群であり、有限生成な局所巡回的群は巡回群です。

有限生成アーベル群は、Z 上の有限生成加群として扱われます。有限生成アーベル群の基本定理は、これを自由アーベル群と有限アーベル群の直和に一意的に分解できることを示します。

群の部分群束が昇鎖条件を満たすことと、すべての部分群が有限生成であることは同値です。このような群はネーター的と呼ばれます。一方、任意の有限生成部分群が有限である群は局所有限群と呼ばれ、ねじれ群であることと関連します（アーベル群では同値）。

有限生成群は幾何学的群論の中心的な研究対象であり、群の代数的性質と群作用を持つ空間の幾何的・位相的性質を結びつけます。また、生成元からなる二つの「語」が等価か判定する語の問題も関連します。

群を生成する最小の要素数である階数は、有限生成群においては常に有限です。

有限生成群は群論における基礎概念であり、多様な性質を持ち、構造論や他の分野との連携において重要な役割を果たします。

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