ひずみエネルギー

ひずみエネルギーとは？

弾性材料に外力が作用し、変形が生じた際に、その材料内部に蓄えられるエネルギーをひずみエネルギーといいます。これは、外力が材料に対して行った仕事が、材料の内部応力とひずみの形で蓄えられたものです。

単軸引張状態におけるひずみエネルギー

単純な例として、一方向に引っ張られる棒状の材料を考えましょう。この材料の体積をV、応力をσ、ひずみをεとすると、蓄えられるひずみエネルギーUは積分を用いて次のように表されます。

U = ∫V (∫0^ε σ dε) dV = ∫V (1/2σε) dV

この式は、ひずみεが0から最終値まで増加する過程で、応力σがどれだけ仕事をしたかを積分することで求められます。線形弾性体の場合、応力とひずみは比例関係にあるため、上記の式のように簡略化できます。

棒材におけるひずみエネルギー

より複雑な形状の棒材では、軸力、曲げモーメント、せん断力の影響を考慮する必要があります。長さlの棒材に、軸力N、曲げモーメントM、せん断力Qが作用する場合、ヤング係数E、断面積A、断面二次モーメントI、せん断弾性係数G、形状係数κを用いて、ひずみエネルギーUは以下のように表されます。

U = (1/2)∫l (N²/EA) dx + (1/2)∫l (M²/EI) dx + (1/2)∫l (κQ²/GA) dx

この式は、軸力、曲げモーメント、せん断力それぞれによるひずみエネルギーを積分し、足し合わせたものです。それぞれの項は、それぞれの力による変形エネルギーを表しています。

トラス構造におけるひずみエネルギー

トラス構造は、複数の部材がピン接合された構造です。トラスでは主に軸力が作用するため、部材数mのトラスのひずみエネルギーUは、各部材の軸力Nk、長さlk、ヤング係数Ek、断面積Akを用いて次のように表せます。

U = (1/2) Σk=1~m (Nk²lk / (EkAk))

これは、各部材のひずみエネルギーを単純に足し合わせたものです。

梁構造におけるひずみエネルギー

梁構造では、曲げモーメントとせん断力が主要な役割を果たします。長さlの梁のひずみエネルギーUは、以下の式で表されます。

U = (1/2)∫l (M²/EI) dx + (1/2)∫l (κQ²/GA) dx

この式は、棒材の式から軸力の項を除いたものです。

補足ひずみエネルギー

補足ひずみエネルギー（コンプリメンタリひずみエネルギー）は、ひずみエネルギーとは異なる概念で、次式で定義されます。

UC = ∫V (∫0^ε ε dσ) dV

この式は、応力σが0から最終値まで増加する過程で、ひずみεがどれだけ仕事をしたかを積分することで求められます。線形弾性体ではUC = Uとなりますが、非線形弾性体では両者は異なります。補足ひずみエネルギー密度は、材料の非線形性を評価する上で重要な指標となります。

まとめ

ひずみエネルギーは、弾性体の変形に伴って蓄えられるエネルギーであり、構造物の設計や解析において重要な役割を果たします。本稿では、様々な構造におけるひずみエネルギーの計算方法を解説しました。これらの式は、構造力学や土木工学の分野で広く利用されています。

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