アインシュタインの関係式 (速度論)

アインシュタインの関係式

アインシュタインの関係式は、物理学、特に統計力学や非平衡物理学の分野で重要な法則として知られています。この関係式は、液体や気体中で微粒子が不規則に運動するブラウン運動を記述するために導かれました。歴史的には、1905年にアルベルト・アインシュタインとウィリアム・サザーランドが、そして翌1906年にはマリアン・スモルコフスキーが、それぞれ独立にこの法則を明らかにしました。

この関係式は、微粒子の拡散現象と、外部からの力に対する粒子の応答性を示す物理量、そして系の熱的な状態である温度を結びつけるものです。ブラウン運動は、周囲の媒質分子からのランダムな衝突によって引き起こされますが、アインシュタインらはこのランダムな動きが、粒子が濃度勾配に従って広がる拡散現象と密接に関連していることを示しました。

アインシュタインの関係式の最も一般的な形は、以下の式で表されます。

$D = \mu \, k_{\mathrm{B}} T$

ここで、式に含まれる各記号は以下の物理量を表しています。

$D$: 拡散係数。物質が濃度勾配に従って拡散する速さを示す指標です。
$\mu$: 移動度。粒子が一定の外力Fを受けたときに到達する熱的な定常速度$v_d$との比として定義されます（$\mu = v_d / F$）。粒子の運動のしやすさを表します。
$k_{\mathrm{B}}$: ボルツマン定数。ミクロなエネルギーとマクロな温度を結びつける基本的な物理定数です。
$T$: 絶対温度。系の熱的な状態を示し、粒子の持つ熱エネルギーの大きさと関連します。

この関係式が示しているのは、粒子の拡散のしやすさ（拡散係数D）が、粒子が外力に対してどれだけ動きやすいか（移動度μ）と、系の温度（T）、そして自然界の基本的な定数（$k_{\mathrm{B}}$）に比例するということです。より温度が高いほど、または粒子が動きやすいほど、拡散が速くなるという直感的な理解を、定量的な関係として与えています。

アインシュタインの関係式は、物理学における重要な概念である「揺動散逸定理」の一つの典型的な例でもあります。揺動散逸定理は、平衡状態に近い系において、系の内部で起きているランダムなゆらぎ（この場合は媒質分子からの衝突によるブラウン運動）と、外部からの摂動（外力など）に対する応答（拡散や移動）が互いに関連していることを示す一般的な原理です。アインシュタインの関係式は、この原理をブラウン運動と拡散という具体的な現象に適用した結果と言えます。

特定の状況下では、この一般形からさらに具体的な形が導かれます。例えば、電荷を帯びた粒子の拡散を考える場合、粒子が電場から受ける力に対する応答を示す「電気移動度」$\mu_q$を用いて、以下のように書くこともできます。

$D = \frac{\mu_q \, k_{\mathrm{B}} T}{q}$

ここで$q$は粒子の電荷です。これは、電荷を持つ粒子の電気的な運動と拡散の関係を示しています。

また、比較的大きな球形の粒子が、粘性のある液体中を低いレイノルズ数で運動する場合（ストークスの法則が成り立つような状況）には、移動度$\mu$を流体の粘度ηと粒子の半径rで表すことができ、いわゆる「ストークス-アインシュタインの式」が得られます。

$D = \frac{k_{\mathrm{B}} T}{6\pi \,\eta \,r}$

この式は、粒子の拡散係数が液体の粘度ηと粒子の半径rに反比例することを示しており、コロイド粒子の研究などで広く利用されています。

アインシュタインの関係式は、ブラウン運動という一見単純な現象の中に潜む統計力学的な原理を明らかにし、拡散や移動度といった輸送現象を理解するための基礎を提供しました。これは、物理化学、生物物理学、材料科学など、微小なスケールでの粒子の挙動が重要となる多くの分野で応用されています。この法則の発見は、原子や分子の実在性を示す強力な証拠の一つともなり、その後の物理学の発展に大きく寄与しました。

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