アインシュタイン＝ブリルアン＝ケラー量子化条件

アインシュタイン＝ブリルアン＝ケラー(EBK)量子化条件：半古典量子論における重要な概念

アインシュタイン＝ブリルアン＝ケラー(EBK)量子化条件は、量子力学、特に半古典論において、可積分な力学系の量子化を記述する重要な条件です。これは、単一の周期運動だけでなく、複数の周期運動を持つ多自由度系にも適用できる、ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件の拡張と言えるでしょう。

1917年、アルベルト・アインシュタインによって最初に提案されたこの条件は、その後レオン・ブリルアンとジョセフ・ケラーによって理論的な展開と改良が加えられました。そのため、彼らの名を取り「アインシュタイン＝ブリルアン＝ケラー量子化条件」と呼ばれています。

EBK量子化条件は、相空間における不変トーラスという幾何学的構造に基づいています。可積分なハミルトン系では、系の軌道は、不変トーラスと呼ばれるトーラス状の表面に閉じ込められた準周期軌道を描きます。この不変トーラスの存在が、EBK量子化条件の適用を可能にする重要な要素です。

作用変数と量子化条件

EBK量子化条件を理解するために、作用変数という概念を導入する必要があります。作用変数 Im は、不変トーラス上の閉じた経路に沿った積分として定義されます。具体的には、

Im = ∮∂Ωm Σi pi dqi

ここで、pi は一般化運動量、qi は一般化座標、∂Ωm は不変トーラス上の独立な閉じた経路を表します。この作用変数に対して、EBK量子化条件は次のように記述されます。

Im = (nm + αm/4)h

ここで、nm は整数、h はプランク定数、αm はマスロフ指数と呼ばれる量子力学的補正項です。マスロフ指数は、古典的な軌道が経路において位相の変化をどのように取得するかを反映する量です。

エネルギー準位

ハミルトニアン H は作用変数 I の関数として表すことができます。EBK量子化条件を用いると、エネルギー準位 E は、作用変数 I に量子化条件を適用することで計算できます。

E = H(I1 = (n1 + α1/4)h, ..., In = (nn + αn/4)h)

ボーア＝ゾンマーフェルト量子化条件との関係

EBK量子化条件は、前期量子論におけるボーア＝ゾンマーフェルト量子化条件の拡張です。ボーア＝ゾンマーフェルト量子化条件は、変数分離可能な系、すなわち、各自由度が独立に運動できる系にのみ適用可能です。しかし、EBK量子化条件は、変数分離できない可積分系にも適用できます。これは、EBK量子化条件が、正準不変量であるΣpi dqi を用いているためです。

理論の発展と量子カオス

アインシュタインは、可積分でない系の量子化の問題点を指摘しましたが、その後長らく忘れられていました。ブリルアンは、波動関数の半古典近似を用いてEBK量子化条件を導き、ケラーはマスロフ指数を導入して条件を精密化しました。

EBK量子化条件は、可積分系に有効ですが、カオス的な系では不変トーラスが破壊され適用できなくなります。このEBK量子化条件の破綻は、量子カオスという分野の研究につながっています。量子カオスは、古典力学ではカオス的な振る舞いをする系が、量子力学ではどのように振る舞うかを探求する分野です。

結論

EBK量子化条件は、半古典論における重要な成果であり、可積分系の量子化を正確に記述します。しかし、カオス系への拡張は、未だに重要な研究課題であり、量子力学の深い理解に繋がる重要な知見を与えてくれます。

もう一度検索