ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件

ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件：前期量子論の到達点と限界

ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件は、量子力学、特に前期量子論において、多自由度を持つ周期運動を量子化する条件として重要な役割を果たしました。1913年にニールス・ボーアが提唱したボーアの量子条件（円軌道に限定）を、1916年にアーノルド・ゾンマーフェルトが拡張したものです。独立に、W. ウィルソンや石原純も同様の成果を得ており、ゾンマーフェルト＝ウィルソンの量子化条件とも呼ばれます。

この条件は、多重周期運動する系の一般化座標と一般化運動量(qk, pk)を用いて次のように表されます。

∮pk dqk = nk h (nk = 1, 2, ...)

ここで、hはプランク定数、積分はqkの1周期に渡るものです。左辺の積分は作用変数Jkに対応し、位相空間における閉軌道で囲まれる面積を表します。

例：一次元調和振動子

質量m、角振動数ωの一次元調和振動子では、ハミルトニアンは以下のように表せます。

H = p²/2m + mω²q²/2

エネルギーEが保存量である場合、位相空間上の軌道は楕円となり、作用変数Jは楕円の面積に相当します。計算の結果、以下の量子化されたエネルギーが得られます。

E = ħωnk (nk = 1, 2, ...)

ここで、ħはディラック定数です。

例：水素原子

水素原子では、質量meの電子が原子核の周りを三次元運動します。極座標(r, θ, φ)を用いると、ハミルトニアンは以下のように表せます。

H = 1/me * (pr² + pθ²/r² + pφ²/(r²sin²θ)) - e²/r

保存量として、z軸方向の角運動量Mz、角運動量の二乗M²、エネルギーEが存在します。これらを用いて作用変数の積分を行い、量子化条件を適用することで、以下の結果が得られます。

Mz = nφħ = mħ

M = (nθ + nφ)ħ = kħ

E = -me e⁴ / (2ħ²(nr + nθ + nφ)²) = -2π²me e⁴ / (n²h²)

ここで、m = nφは磁気量子数、k = nθ + nφは方位量子数、n = nr + nθ + nφは主量子数です。

古典軌道との対応から、定常状態の軌道は長半径a、短半径bの楕円軌道と解釈できます。

a = aB n²

b = aB nk

ここで、aBはボーア半径です。

理論の歴史と限界

ゾンマーフェルトは解析力学を用いてボーアの量子条件を拡張し、水素原子の電子軌道は円軌道だけでなく、主量子数、方位量子数、磁気量子数で指定される様々な楕円軌道が存在することを示しました。これにより、正常ゼーマン効果の説明が可能となりました。さらに、相対論的効果を考慮することで微細構造も説明しました。

エプシュタインとシュヴァルツシルトは、ハミルトン・ヤコビ方程式を用いた定式化を行い、シュタルク効果の説明に成功しました。しかし、ヘリウム原子など複雑な原子のエネルギー準位や異常ゼーマン効果を説明するには至らず、より本格的な量子力学の登場を待つことになります。

WKB近似との関係

シュレーディンガー方程式の半古典論的近似解法であるWKB近似において、ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件が導出されます。この関係は、クラマースによって示されました。

アインシュタインによる拡張

アインシュタインは、正準変換に対して不変なΣpk dqkを用いた量子化条件を提案しました。

∮γk Σk=1~N pk dqk = nh (n = 1, 2, ...)

結論

ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件は、前期量子論における重要な成果でしたが、その適用範囲は限定的で、より精密な量子力学の枠組みが必要となりました。しかし、その歴史的意義と、後の量子力学の発展への橋渡しとしての役割は非常に大きいと言えるでしょう。

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