アフィンリー代数

アフィン・リー環の概念

数学におけるアフィン・リー環は、有限次元の単純リー環から成り立つ無限次元のリー環です。このリー環は、一般的なカルタン行列が半正定値で余階数が1のカッツ・ムーディ・リー環として特定されます。アフィン・リー環の魅力は、その表現論が理解しやすい点にあります。特に、有限次元半単純リー環の表現論と比べても、一般のカッツ・ムーディ・リー環の表現論よりも充実しています。さらに、ヴィクトル・カッツによって発見された指標公式により、アフィン・リー環の表現に関連する組合せ論的な恒等式、マクドナルド恒等式が導かれることが示されました。

アフィン・リー環は、その生成の仕方から特に弦理論や共形場理論において重要な存在となっています。彼らの構築は、単純リー環から出発し、円上のリー環値関数からなるループ代数をみることから始まります。このとき、アフィン・リー環は、ループ代数に1次元を加え、交換子を特定の方法で修正することで得られます。この手法は、物理学において量子アノマリー、いわゆるWZWモデルのアノマリーと呼ばれるものに関連し、また、数学者にとっては中心拡大にあたります。

一般的な場合、σが単純リー環のディンキン図形に関連する自己同型であるとき、ツイストループ代数Lσgが形成されます。これはすなわち、実数直線上で特定条件を満たす関数から構成され、これがツイストアフィン・リー環の中心拡大となります。

アフィン・リー環の構成

アフィン・リー環は、有限次元単純リー環 g に関して、無限次元リー環 g ⊗ C[t,t^(-1)] の中心的部分に1次元の中心C cを追加することで定義されます。ベクトル空間としては、

$$
\hat{g} = g \otimes C[t, t^{-1}] \oplus C c
$$

となり、ここでC[t, t^(-1)]はローラン多項式の形成によって得られる複素ベクトル空間です。リーブラケットは以下のように定義されます。すべてのa,b ∈ g、α,β ∈ Cおよびn,m ∈ Zに対して、

$$
[a \otimes t^{n} + \alpha c, b \otimes t^{m} + \beta c] = [a,b] \otimes t^{n+m} + \langle a | b \rangle n \delta_{m+n,0}c
$$

ここで[a,b]は元 g におけるリーブラケットを示し、⟨⋅|⋅⟩はカルタン・キリング形式で示されます。アフィン・リー環には、顕著な微分δが定義されています。具体的には、

$$
\delta(a \otimes t^{m} + \alpha c) = t \frac{d}{dt}(a \otimes t^{m})
$$

アフィン・カッツ・ムーディ代数は、追加の生成元dを加えることで定義されます。

構成とディンキン図形

各アフィン・リー環に関連するディンキン図形は、単純リー環に対応するものと、追加される虚ルートに基づく一つの頂点から成ります。このとき、自己同型群の濃度と同じ数だけ異なる形状を与えることが可能です。単純なリー環における自己同型が存在する場合、他のディンキン図形を得ることができ、これがツイストアフィン・リー環とも結びつきます。

中心拡大の役割

中心拡大は、対応する単純リー環のDynkin図形に追加の頂点を加える過程によって実現できます。つまり、アフィン・リー環は常にループ代数の中心拡大として構成されます。半単純リー環の場合、一貫した数の元が元の環に対して中心拡大として加えられます。

表現論とワイル群

アフィン・リー環の表現論は、一般にヴァーマ加群を使用して発展します。これは有限次元の表現が存在しないため、アフィン・リー環とその関連する構成体は特異です。これにより、ワイルの指標公式がアフィン・リー環の文脈での特徴付けを行い、さまざまな宇宙論的構成へとつながります。

応用

アフィン・リー環は、理論物理学における共形場理論や、幾何学、数学の他の分野において自然に現れる重要な対象です。特に、WZWモデルや他のコセットモデルなどでは、理論的な基盤として用いられています。

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