アーネシの曲線

アーネシの曲線

「アーネシの曲線」は、18世紀のイタリアの数学者マリア・ガエターナ・アニェージによって詳細に研究された平面上の特定の曲線です。この曲線は「アーネシの魔女」とも呼ばれることがありますが、この通称はイタリア語の「versiera」（回転線などを指す言葉）が、英語への翻訳時に「avversiera」（悪魔や魔女）と誤って解釈されたことに由来し、数学的な内容とは関係のない命名上の混乱によるものです。日本語では「迂池線」という別名で呼ばれることもあります。

定義

アーネシの曲線は、直交座標系において、ある定数 `c` を用いた以下のような方程式で表されます。


y = c³ / (x² + c²)


この式は `(x² + c²)y - c³ = 0` とも等価です。

幾何学的には、次のように定義することもできます。まず、原点 `O` とy軸上の点 `M` を結ぶ線分を直径とする円を考えます。原点 `O` からこの円周上の任意の点 `A` へ直線を引きます。点 `M` を通りx軸に平行な直線を引き、これが直線 `OA` と交わる点を `N` とします。次に、点 `N` を通りy軸に平行な直線（すなわちx軸に垂直な直線）と、点 `A` を通りx軸に平行な直線（すなわちy軸に垂直な直線）の交点を `P` とします。点 `A` が円周上を動くにつれて点 `P` が描く軌跡が、アーネシの曲線です。

円の半径を `a` とすると、上記の方程式の定数 `c` は `2a` に相当します。この場合、曲線の方程式は以下のようになります。


y = 8a³ / (x² + 4a²)


特に、半径 `a` が `1/2` の場合、方程式は単純な `y = 1 / (x² + 1)` となります。

また、媒介変数表示を用いることも可能です。パラメータ `t` を用いると、曲線は以下の式で表せます。


x = 2at
y = 2a / (t² + 1)


原点 `O` から点 `A` への線分 `OA` がy軸（線分 `OM`）となす角を `θ`（時計回りを正）とすると、以下のようにも表せます。


x = 2a tanθ
y = 2a cos²θ


あるいは、線分 `OA` がx軸となす角を `θ`（反時計回りを正）とすると、以下の表示も可能です。


x = 2a cotθ
y = 2a sin²θ

性質

アーネシの曲線は、その見た目からは興味深い性質をいくつか持っています。主な性質は以下の通りです。

y軸に対して線対称です。
x軸は曲線の漸近線であり、曲線はx軸に限りなく近づきます。
円の半径を `a` とした場合、曲線には2つの変曲点があり、その座標は `(± 2a/√3, 3a/2)` です。
曲線とx軸によって囲まれる無限領域の面積は、元の円の面積 `πa²` の4倍にあたる `4πa²` となります。
この無限領域の重心は、y軸上の `(0, a/2)` にあります。（元の円の重心は `(0, a)` です。）
曲線とx軸によって囲まれる領域をy軸の周りに回転させてできる立体の体積は `4π²a³` となります。

歴史

この曲線の性質については、古くは17世紀の数学者ピエール・ド・フェルマーが1630年頃に研究していたことが知られています。その後、グイド・グランディが1703年に改めて研究し「versiera」と名付け、マリア・ガエターナ・アニェージが1748年に自身の教科書で詳しく解説したことで広く知られるようになりました。英語圏で「witch of Agnesi」という通称が広まったのは、ケンブリッジ大学のジョン・コルソンがグランディのイタリア語名を誤訳したためとされています。

この曲線は、確率論におけるコーシー分布の確率密度関数に関連するなど、数学の様々な分野で応用が見られます。

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