ウィグナー＝エッカルトの定理

ウィグナー＝エッカルトの定理

ウィグナー＝エッカルトの定理、英語で Wigner–Eckart theorem は、量子力学の分野において特に重要な役割を果たす原理です。この定理は、角運動量に関する固有状態と球面テンソル演算子との間の行列要素を、物理的因子と幾何学的因子に分けて考えることを可能にします。

定理の概要

ここで、角運動量を表す演算子

\[ \mathbf{J}, J_z \]

の固有状態を \( |\alpha j m\rangle \) と \( |\alpha' j' m'\rangle \) とした場合、ウィグナー＝エッカルトの定理は次のように表されます：

\[ \langle \alpha j m | T_q^{(k)} | \alpha' j' m' \rangle = \frac{\langle j' m' k q | j' k j m \rangle}{\sqrt{2j + 1}} \langle \alpha j || T^{(k)} || \alpha' j' \rangle \]

この式において、\( j \) と \( j' \) は全角運動量量子数を示し、\( m \) と \( m' \) はそれぞれの z 成分の量子数、そして \( \alpha, \alpha' \) はその他の量子数を表します。定理は、球面テンソル演算子 \( T_q^{(k)} \) の行列要素の計算を簡単にする手助けをします。

換算行列要素とは

式中の \( \langle \alpha j || T^{(k)} || \alpha' j' \rangle \) は「換算行列要素」と呼ばれ、これは特に重要な概念です。この要素は、角運動量の z 成分に依存することなく、座標軸の取扱いにも影響されないため、球面テンソルの物理的情報を完全に含んでいます。換算行列要素は、量子力学における物理的性質を一つに集約したものだと言えるでしょう。

幾何学的因子の役割

また、行列要素 \( \langle j' m' k q | j' k j m \rangle \) はクレブシュ-ゴルダン係数として知られ、幾何学的な情報を表します。この因子は、角運動量の結合や選択則に関連する特性を暗示する役割を果たします。

まとめ

ウィグナー＝エッカルトの定理は、量子力学における角運動量の性質を詳細に探るための力強いツールです。この定理を用いることで、量子システムの挙動や相互作用をより深く理解することが可能になります。物理学者や研究者にとって、ウィグナー＝エッカルトの定理は、量子力学の理論構築における重要な基盤の一つとされています。

もう一度検索