ウェブスターのホルン方程式

ウェブスターのホルン方程式

ウェブスターのホルン方程式は、音波が空間的に非一様な断面を持つ気柱の中を伝播する様子を記述する偏微分方程式で、主に音響学における管楽器の音響共鳴を分析する際に用いられます。この方程式は、1919年にアーサー・ゴードン・ウェブスターによって提唱されたことに由来していますが、実際にはダニエル・ベルヌーイやジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ、レオンハルト・オイラーなど、古くから多くの学者によって研究されてきた内容です。

方程式の概要

この方程式では、細長い管の中を伝わる音波において、管の断面積が常に変化する様子を扱います。管内の音波は、通常の音波のように時刻と位置に依存した音圧として表され、以下のような条件が考慮されます：

• - 管の半径は波長に対して十分小さいこと。
• - 断面積の変化が、半径のスケールでゆるやかであること。

このようにすることで、ウェブスターのホルン方程式は、低周波の音波に適合する形に簡略化されています。これにより、時刻と位置に基づく音圧は、波動方程式を修正した形に変換されます。

音圧の表現は次の式にまとめられます：
$$
rac{ ext{d}^2p}{ ext{d}x^2} + rac{(k^2 imes S)}{c^2} p = 0
$$
ここに、$c$ は音速、$k$ は波数です。このように、ウェブスターのホルン方程式は、音波の性質を理解するための重要な道具となります。

物理背景

この方程式は流体力学の観点から導出されます。特定の体積内の質量変化は、流入と流出から算出され、これを連続の方程式とオイラー方程式と組み合わせることでウェブスターのホルン方程式が得られます。この過程によって、断面の変化が音波に与える影響が明らかになります。

性質と具体例

性質

管の半径を以下のように定義すると：
$$
a = rac{S}{ ext{π}}
$$
このとき、特定の horn function $F$ が導入されます。この関数が特定の条件を満たさない場合、音波はその領域を通過できません。この臨界周波数をカットオフ周波数と呼び、特定の形状の管について詳細に解析されています。

具体例

• - 円錐管：円錐形の断面積では、ウェブスターのホルン方程式から平面波解が導かれます。音響共鳴の条件は、管の口の開いた端と閉じた端の関係に依存します。

• - 指数関数：断面積が指数関数の形で変化する場合、ウェブスターのホルン方程式は異なる解析結果をもたらし、さまざまな音波伝播特性を表します。

• - ベッセルホルン：特定の関係を持つ断面積において、ベッセル関数を用いた定常波の解が得られます。ここでも異なるパラメータに応じた音響特性を示すことが可能です。

ウェブスターのホルン方程式は音響学の重要な理論的支柱となっており、音の伝わり方を深く理解するための鍵とされています。流体力学と音響理論の融合によって、多様な音響現象を説明するための有用な手段となっています。

もう一度検索