ウォード＝高橋恒等式

ウォード＝高橋恒等式についての詳細

場の量子論において、ウォード＝高橋恒等式（Ward–Takahashi identity）は、非常に重要な役割を果たしています。この等式は、量子理論の大域的および局所的対称性と深く関わっており、特に繰込みを行った後でも有効です。この恒等式の基本的な意味は、対称性が量子振幅のレベルで保持されることを保証する点にあります。

もともと、[量子電磁力学]におけるウォード＝高橋恒等式は、ジョン・クリーヴ・ウォードと高橋康によって提案されました。彼らは、電子の波動関数の繰込みと形状因子 F1(0) の関係を示すためにこの等式を用いました。このような使用法により、摂動論の全次数における紫外発散が相殺されることが保証されました。

ウォード＝高橋恒等式は、さらに進んで、摂動論のすべての次数におけるゴールドストーンの定理の証明にも利用されます。一般に、ウォード＝高橋恒等式は古典理論のネーターの定理に由来し、連続対称性からカレントの保存則が導かれる量子論におけるバージョンと考えられています。場の量子論において、このような対称性はほぼ常にウォード＝高橋恒等式として表現されます。実際に、ウォード＝高橋恒等式は、量子振幅のレベルで対称性を課す重要な関係式です。

運動量空間におけるウォード＝高橋恒等式

特に、運動量空間での相関関数に関するウォード＝高橋恒等式は、外部粒子の運動量が必ずしもオンシェルではない場合にも適用可能です。この文脈で、ウォード＝高橋恒等式は以下の形で表現されます：

$$
\mathcal{M}(k;p_1\cdots p_n;q_1\cdots q_n) = \epsilon_{\mu}(k)\mathcal{M}^{\mu}(k;p_1\cdots p_n;q_1\cdots q_n)
$$

ここで、\(\mathcal{M}(k;p_1\cdots p_n;q_1\cdots q_n)\) は、運動量 \(k\) の光子と初期状態の電子および終状態の電子の運動量を持つ相関関数を表しています。さらに、元の振幅から光子を取り除いた単純な振幅を \(\mathcal{M}_0\) とし、ウォード＝高橋恒等式は次のように表現されます：

$$
\begin{align}
k_{\mu}\mathcal{M}^{\mu}(k;p_1\cdots p_n;q_1\cdots q_n) &= e \sum_i \left[\mathcal{M}_{0}(p_1\cdots p_n;q_1\cdots (q_i-k)\cdots q_n)\right. \\
&\quad\left.-\mathcal{M}_{0}(p_1\cdots (p_i+k)\cdots p_n;q_1\cdots q_n)\right]
\end{align}
$$

ここで、\(e\) は電子の電荷です。この式は、外線の電子の運動量がオンシェルでない場合にも成立することを示しており、重要な結果を提供します。

ウォードの恒等式とその物理的意義

ウォード＝高橋恒等式は、特に散乱過程に対してウォードの恒等式として特殊化されます。この場合、すべての外部粒子の運動量はオンシェルであるべきです。この文脈では、ウォードの恒等式は以下のように表現されます：

$$
k_{\mu}\mathcal{M}^{\mu}(k) = 0
$$

この恒等式は、光子の縦方向の偏光が物理的には存在しないことを示しており、S-行列からは消えることになります。これは、QEDにおける真空偏極や電子の頂点函数のテンソル構造に制約を与えるために利用されます。

経路積分によるウォード＝高橋恒等式の導出

ウォード＝高橋恒等式は経路積分の枠組みでも導出可能です。この場合、ゲージ変換に対する汎関数測度の不変性を示しています。具体的には、次のような表現が成り立ちます：

$$
\int \delta_{\epsilon}\left(\mathcal{F} e^{iS}\right) D\phi = 0
$$

この式は、汎関数測度の不変性を表しています。さらに、ゲージ変換が理論の大域的対称性に対応するとき、この等式は連続カレントの保存に関するものとなります。ウォード＝高橋恒等式の具体的な適用例としては、物理的に重要なアノマリーに関する知見を得ることができます。

参考文献

• - Y. Takahashi, Nuovo Cimento, Ser 10, 6 (1957) 370.
• - J.C. Ward, Phys. Rev. 78, (1950) 182
• - Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press. ISBN 0-201-50397-2

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