オイラー標数

オイラー標数とは

オイラー標数（Euler characteristic）は、位相空間が持つ構造を特徴づけるための重要な位相不変量の一つです。この概念は、数学者オイラーが多面体の研究において導入したことから、その名が付けられました。位相空間の形状が変わっても、オイラー標数の値は一定であるという性質を持ち、図形の位相的な性質を理解する上で非常に役立ちます。

定義

位相空間 X のオイラー標数 χ(X) は、以下のように定義されます。

math
\chi (X) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} b_{n}


ここで、bn は位相空間 X の n 次元ベッチ数であり、ホモロジー群 Hn(X) の階数を表します。ベッチ数は、位相空間の穴の数を数えるための指標であり、オイラー標数はこれらのベッチ数を交互に足し引きすることで算出されます。

オイラー標数の性質

位相不変性

ホモロジー群が位相不変量であるため、オイラー標数も位相不変量です。つまり、位相空間が連続的に変形しても、オイラー標数の値は変化しません。この性質は、図形の位相的な性質を調べる上で非常に重要です。

閉曲面

閉曲面（境界のないコンパクトな曲面）の場合、オイラー標数はその曲面の位相的な構造を完全に決定します。特に、向き付け可能な連結閉曲面においては、オイラー標数は位相同型に関する完全不変量となります。

有限CW複体

有限CW複体 K において、n 次元単体の個数を qn とすると、オイラー標数は以下のように表すことができます。

math
\chi (K) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} q_{n}


この式は、ホモロジー群を計算しなくても、単体の個数さえわかればオイラー標数を計算できることを示しています。

グラフの場合

特に K が有限連結グラフである場合、頂点の数を v 、辺の数を e とすると、オイラー標数は以下のように簡略化されます。

math
\chi (K) = v - e


グラフが閉路を持たない場合、オイラー標数は常に 1 になります。

多面体の場合

多面体の場合、頂点の数を v 、辺の数を e 、面の数を f とすると、オイラー標数は以下のように計算できます。

math
\chi (K) = v - e + f


凸多面体の場合、オイラー標数は常に 2 になり、これはオイラーの多面体定理として知られています。

オイラーの多面体定理の証明

オイラーの多面体定理は、グラフ理論を用いて証明することができます。

双対グラフによる証明

多面体の頂点と辺の関係を平面グラフで表現できます。これは、多面体から一つの面を取り除き、残りの面を平面に展開することで可能です。このようにして得られた平面グラフの全域木とその双対を考えることで、オイラーの多面体定理を証明することができます。

全域木とは、グラフのすべての頂点を接続し、閉路を含まない部分グラフのことです。全域木の双対は、元のグラフの双対のうち、全域木に含まれない辺に対応する辺を含むグラフであり、これは元のグラフの双対の全域木になります。

この性質を利用することで、平面グラフのすべての辺は、全域木とその双対の全域木に対応する辺に分解できることがわかります。

木グラフは、一つの頂点から始め、頂点と辺を一つずつ付け加えて作ることができます。そのため、木グラフの頂点の数vと辺の数eの間には、e = (v − 1) の関係が成り立ちます。

平面グラフGの全域木Sの辺の数をeSとすると、eS = (v − 1) が成り立ちます。また、Sの双対~Sの辺の数をe~Sとすると、~SはG の全域木であるため、Gの頂点の数、すなわちGの面の数fについて、同様な関係 e~S = (f − 1)が成り立ちます。

Sの辺の数と~Sの辺の数を足すとGの辺の数に等しく、また~Sの各辺は~S*の各辺に一対一に対応するため、以下の式が得られます。

math
e = (v - 1) + (f - 1)


この式は、オイラーの多面体定理 v - e + f = 2 を示しています。

まとめ

オイラー標数は、位相空間の構造を捉えるための強力なツールです。多面体、グラフ、そして一般的な位相空間に至るまで、様々な文脈でその重要性が認識されています。位相不変量としての性質を持つため、図形の変形に対して不変な特性を理解する上で欠かせない概念です。

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