ベッチ数

ベッチ数

ベッチ数（Betti numbers）は、代数的位相幾何学において、位相空間の構造、特に「穴」の数を次元ごとに測る基本的な不変量です。これはイタリアの数学者エンリコ・ベッチにちなみ、アンリ・ポアンカレによって導入されました。ベッチ数は自然数の値をとります。

空間の「穴」を測る指標

ベッチ数は、空間に存在する本質的な「穴」の数を次元ごとに捉え直したものです。0次ベッチ数（b_0）は連結成分の数を、1次ベッチ数（b_1）は閉曲線に対応する穴の数（ドーナツ状の穴など）を、2次ベッチ数（b_2）は閉曲面に対応する空洞の数などを表します。

例えば、円周はb_0=1, b_1=1（中心の穴）となります。ドーナツ型のトーラスは、b_0=1, b_1=2（二つの独立した穴）、b_2=1（内部の空洞）です。プレッツェルの1次ベッチ数は、穴の数の2倍になります。

厳密な定義とポアンカレ多項式

ベッチ数 b_k(X) は、空間 X の k 次ホモロジー群 H_k(X) のランク（または有理数体上のベクトル空間 H_k(X; Q) の次元）として厳密に定義されます。ホモロジー群にねじれがない場合は、係数体によらずベッチ数は同じです。

ベッチ数列 b_0(X), b_1(X), ... を係数とする多項式 P_X(t) = b_0(X) + b_1(X)t + b_2(X)t^2 + ... をポアンカレ多項式と呼びます。これはベッチ数の情報をまとめた母関数です。

計算例と様々な空間

ベッチ数は、単体複体やグラフなど、様々な空間で計算されます。グラフの場合、頂点 n、辺 m、連結成分 k のグラフ G においては、0次ベッチ数は連結成分の数そのものである k (b_0=k)、1次ベッチ数は m - n + k (b_1) となります。1次ベッチ数はサイクロマチック数とも呼ばれ、ソフトウェア工学の循環的複雑度にも関連します。

いくつかの空間のベッチ数列とポアンカレ多項式は以下のようになります。
点: 1, 0, 0, ... (P(t)=1)
円: 1, 1, 0, 0, ... (P(t)=1+t)
n次元トーラス: ポアンカレ多項式は (1+t)^n となります。ベッチ数は二項係数で与えられます。
無限次元複素射影空間: ベッチ数列は 1, 0, 1, 0, ... と周期的なパターンを示し、ポアンカレ多項式は 1+t^2+t^4+... = 1/(1-t^2) となります。

ベッチ数の性質

ベッチ数は、オイラー標数 χ(K) = Σ (-1)^i b_i(K)（オイラー・ポアンカレの定理）や、積空間のポアンカレ多項式 P_{X × Y}(t) = P_X(t) P_Y(t)（キネットの定理）、向き付け可能な閉多様体におけるポアンカレ双対性 b_k(X) = b_{n-k}(X) など、重要な性質を満たします。

他分野との関連と応用

閉多様体におけるベッチ数は、ド・ラームコホモロジーの次元と一致する（ド・ラームの定理）ほか、リーマン多様体では調和形式の空間の次元（ホッジ理論）とも関連します。モース理論では、ベッチ数の交代和が関数の臨界点の数と関連付けられます（モース不等式）。

数学分野以外では、計算機科学や画像処理、データ解析など、多様な分野で空間やデータの位相的な特徴を捉えるためにベッチ数が活用されています。

ベッチ数は、抽象的な空間の形状や構造を、具体的な数値（「穴」の数）として理解するための、基本的かつ強力なツールです。

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