位相同型

位相同型（同相）とは

位相同型（いそうどうけい）、または同相（どうそう）とは、二つの位相空間が位相空間として本質的に同じであることを示す概念です。これは、一方の空間を連続的に変形させて他方の空間に一致させることができる場合に、それらの空間が同じ位相的性質を持つとみなすことができるという考え方に基づいています。

例えば、球の表面と湯飲みは、連続的な変形によって互いに移り合うことができます。同様に、穴が一つ開いたドーナツの表面（トーラス）と、取っ手が付いたマグカップの表面も、連続的な変形によって互いに移り合うことが可能です。これらの場合、二つの空間は位相幾何学的に同じ性質を持つと見なされ、位相同型であると言えます。

一方で、球面とトーラスの間には、連続的な変形によって互いに移り合うような対応関係は存在しません。これは、球面には穴がなく、トーラスには穴が一つあるという位相的な違いがあるからです。このように、穴の数が異なる空間同士は、位相同型とはなりません。

位相同型の定義

位相空間Aから位相空間Bへの写像fが以下の条件を満たすとき、fを同相写像（または単に同相）と呼びます。

1. 連続性: 写像fは連続である。
2. 全単射性: 写像fは全単射である（すなわち、すべての要素が過不足なく対応している）。
3. 逆写像の連続性: fの逆写像もまた連続である。

二つの位相空間AとBの間に同相写像が存在するとき、AとBは同相である、または位相同型であると言います。

位相同型の例

• - 平面内の閉円板D2と平面内の正方形I×I（ただし、I=[0,1]）は同相です。一般に、平面内の多角形も互いに同相です。
• - 円周S1から一点を取り除いてできる空間と実直線は同相です。
• - リー群SO(3)は、三次元球体D3={(x, y, z)|x^2+y^2+z^2≦1}の商空間D3/Rと同相です。ここで同値関係xRyは、x=yまたはx=-yかつ||x||=1で定義されます。

注意点

同相の定義において、逆写像の連続性は非常に重要です。例えば、半開区間[0,2π)から円周S1への写像t → (cos t, sin t)は連続で逆写像を持ちますが、逆写像は連続ではありません。したがって、半開区間[0,2π)と円周S1は同相ではありません。

位相同型の性質

• - 同相写像の逆写像は同相写像であり、同相写像の合成も同相写像です。
• - ある空間の自己同相写像全体は群をなします。
• - 同相は位相空間全体の空間に同値関係を定めます。
• - 同相写像は開集合を開集合に、閉集合を閉集合に写し、位相的な構造を保ちます。つまり、位相空間としての性質（コンパクト性、連結性など）を一切変えません。
• - 同相写像は、位相空間の圏における同型射です。

位相空間論における同値関係

位相空間論では、同相の他にも以下の様な同値関係が考えられます。

• - 連続変形による同値関係: 位相同型よりも強い概念です。
• - ホモトピー同値による同値関係

多様体における微分同相

二つの多様体の間には、微分同相という概念も存在します。多様体間の同相写像fがCn級（n回微分可能）であり、その逆写像もまたCn級であるとき、fをCn級微分同相写像と呼びます。

関連用語

• - 局所同相
• - 微分同相
• - ポアンカレ予想

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