オルンシュタイン＝ウーレンベック過程

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、確率過程の一種で、レナード・オルンシュタインとジョージ・ウーレンベックにちなんで名付けられました。この過程は、平均に対して回帰する性質を持ち、特に物理学や金融モデルにおいて多く利用されます。また、しばしば「平均回帰過程」とも呼ばれます。

定義

このオルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、確率微分方程式によって数式的に定義されます。以下の方程式により表現されます：

$$
dr_t = heta(
u - r_t)dt +
ho dW_t
$$

ここで、$θ, μ, σ$はパラメータを表し、$W_t$はウィーナー過程です。この過程は、離散時間でのAR(1)過程の連続的な拡張と言えます。

解法

テキストで与えられた方程式は、定数変化法を使って解くことが可能です。一部の関数に対して伊藤の補題を適用すると、次の表現が得られます。

$$
f(r_t, t) = r_t e^{ heta t}
$$

この表現をもとに、以下のように積分を行い、最終的に次の形の解を導き出すことができます：

$$
r_t = r_0 e^{- heta t} +
u(1 - e^{- heta t}) + rac{
ho}{ heta} igg( W(e^{2 heta t}) - t igg) e^{- heta t}
$$

この場合、$r_0$を定数と仮定すると、$r_t$の1次モーメントは次のように計算されます。

$$
E(r_t) = r_0 e^{- heta t} +
u(1 - e^{- heta t})
$$

さらに、$s rown t$を用いることで共分散関数を計算できます。この結果を用いることで、過程の特性をより深く理解できます。

さまざまな表現

この過程は、スケール変換や時間シフトを施したウィーナー過程としても表記できます。初期値条件がない場合は、次の式になることがあります：

$$
r_t =
u + rac{
ho}{ heta} W(e^{2 heta t}) e^{- heta t}
$$

また、初期値が与えられている時は次のように表され、これにより応用がさらに広がります。

$$
r_t = r_0 e^{- heta t} +
u(1 - e^{- heta t}) + rac{
ho}{ heta} (W(e^{2 heta t}) - 1)e^{- heta t}
$$

ガウス過程の一例

オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、有界な分散を持つガウス過程の具体例です。ウィーナー過程とは異なり、定常な確率分布を許容します。この性質により、さまざまな実世界の現象をモデル化するのに適しています。さらに、この過程の時間積分は、いわゆる1/fパワースペクトルを持つノイズの生成に利用されることもあります。

関連文献と研究

この過程に関する重要な研究には、G. E. UhlenbeckとL. S. Ornsteinによる「On the theory of Brownian Motion」や、D. T. Gillespieによる「Exact numerical simulation of the Ornstein-Uhlenbeck process and its integral」が含まれます。また、一般化されたオルンシュタイン＝ウーレンベック過程については、レヴィ過程と関連があり、近年の研究により新たな理解が進んでいます。

このようにして、オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、その数理的な特性からさまざまな応用を持ち、経済学や物理学などの分野で多大な影響を与えています。

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