伊藤の補題

伊藤の補題とは

伊藤の補題（いとうのほだい、Itō's lemma）は、確率微分方程式における確率過程の積分計算を容易にするための数学的手法です。この概念は、確率論の発展に貢献した日本の数学者、伊藤清によって開発されました。特に、ウィーナー過程（ブラウン運動）のような確率過程に対して非常に有用です。

伊藤積分について

伊藤積分は、ある確率過程のウィーナー過程に関する積分です。確率過程は予測不可能な特性を持つため、伝統的な方法での積分定義は難しいですが、大数の法則を適用することで伊藤積分のような特別な方式が導出されます。この伊藤積分は、計算の応用においてマルチンゲールであるという特性を持つため、頻繁に使用されます。

伊藤積分の具体例

伊藤積分は、次の形で定義されます：

$$
egin{aligned}
\
\
\
\
\int_{0}^{t} Y_{s} dB_{s} = &\sum_{i=1}^{n-1} Y(t_{i-1}) (B(t_{i}) - B(t_{i-1})) \
&+ Y(t_{n-1}) (B(t) - B(t_{n-1}))
\end{aligned}
$$

ここで、$Y_{t}$は適切な性質を持つ確率過程であり、$B_{t}$はウィーナー過程の値です。この積分は、連続的な時間分割を極限に持ち込むことによって実現されます。

確率的微分と伊藤の公式

伊藤の補題により、確率過程の微分を考えることができ、これは基礎的な確率微分方程式の理論において非常に重要です。具体的には、確率微分方程式が次の形をとる場合：

$$
dX_{t} = f(t) dt + g(t) dB_{t},$$

$$h(t, x)$$が二回連続微分可能であれば、次のように表示されます：

$$
dh = rac{ ext{∂}h}{ ext{∂}t}|_{x=X_{t}}dt + rac{ ext{∂}h}{ ext{∂}x}|_{x=X_{t}}f(t)dt + rac{ ext{∂}h}{ ext{∂}x}|_{x=X_{t}}g(t)dB_{t} + rac{1}{2}rac{ ext{∂}^2 h}{ ext{∂}x^2}|_{x=X_{t}}(g(t))^2dt.$$

ここで、確率過程の上に成り立つ特有の性質が生じます。例えば、微分$dB_{t}$が二次の項を含むことなどです。これはウィーナー過程特有の規則性からきています。

伊藤ルールとその適用

伊藤の公式は、確率微分方程式を扱う際の計算手法として非常に強力です。特に、指数関数のような複雑な確率過程に対しても適用可能で、次のように書くことができます：

$$de^{B_{t}^{2}} = 2B_{t}e^{B_{t}^{2}}dB_{t} + (e^{B_{t}^{2}} + 2B_{t}^{2}e^{B_{t}^{2}})dt.$$

このように、実際の計算が簡単にできるため、さまざまな応用可能性が広がります。

まとめ

伊藤の補題は、確率微分方程式を理解し、計算する上で欠かせない理論です。伊藤積分や確率的微分を用いることで、複雑な確率過程を扱う際の計算がシンプルになり、非常に便利です。これにより、確率論の研究や実用的な問題において、より多くの可能性が広がります。

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