カッツ・ムーディ代数

カッツ・ムーディ代数について

数学の分野において、カッツ・ムーディ代数は無限次元のリー代数の一つであり、一般的には無限次元の構造を持つと言えます。この代数は、生成元と特定の関係式から定義され、主に一般カルタン行列を用いて構築されます。カッツ・ムーディという名称は、独立してこの代数を発見したヴィクトル・カッツとロバート・ムーディに由来します。他のリー代数の一般化とも言えるカッツ・ムーディ代数は、特に数学や理論物理学の中で非常に重要な役割を果たしています。特に、アフィン・リー環と呼ばれる特定のクラスが、共形場理論や完全可解模型において特に注目されています。

カッツ・ムーディ代数の歴史

カッツ・ムーディ代数の歴史は、カルタン整数から有限次元の単純リー環を構成する試みから始まりました。エリ・カルタンとヴィルヘルム・キリングが提唱した方法は、型に依存していたため、1966年にジャン＝ピエール・セールが示した新たなアプローチにより、一般的なカルタン行列を基にしたリー環の特徴づけが可能となりました。この成果により、正定値でないカルタン行列を使った生成元や関係式に基づいたリー環の存在が示され、無限次元リー環の研究が進みました。

1967年、ロバート・ムーディはその結果をもとに、カルタン行列が正定値ではない場合についての研究を発表しました。この時、無限次元のリー環が考察の対象となり、この分野ではZ-次数付きリー環がモスクワで研究されていました。その後、I.L.カントルがカッツ・ムーディ代数の基盤となる理論を築き、カッツ自身も無限次元リー環の性質を深く探求しました。

定義と構造

カッツ・ムーディ代数を定義するためには、以下の3つの要素が必要です：
1. 階数rのn×n一般カルタン行列C
2. 2n - r次元の複素数体上のベクトル空間
t
3. n個の線型独立な元の集合である双対空間の元
a

この定義をもとに、リー環は生成元と特定の関係式を介して構築されます。カッツ・ムーディ代数における生成元はe_iとf_iと呼ばれ、関係式は以下のようになります：

• - [h,h'] = 0 (h,h' ∈ h)
• - [h,e_i] = α_i(h)e_i (h ∈ h)
• - [h,f_i] = -α_i(h)f_i (h ∈ h)
• - [e_i,f_j] = δ_ij α_i^ (δ_ijはクロネッカーのデルタ)

また、任意のカッツ・ムーディ代数はカルタン部分環に分解可能であり、その結果、リー代数は以下のように整理されます。

$$
ext{g} = ext{h} igoplus_{ ext{λ} ext{ in } ext{Δ}} ext{g}_{λ}
$$

カッツ・ムーディ代数の分類

カッツ・ムーディ代数は、その一般カルタン行列の性質によって分類されます。特に重要なのは、対称化可能なカルタン行列に基づくサブクラスです。これにより、カッツ・ムーディ代数は以下の三種類に分かれます：
1. 正定値行列に対応する有限次元単純リー環
2. 半正定値行列に対応するアフィン型無限次元リー環
3. 不定値行列に伴う不定型のカッツ・ムーディ代数

このように、カッツ・ムーディ代数は多くの興味深い数学的性質を持っており、その分析は続いています。近年では不定型カッツ・ムーディ代数に関する研究も増加していますが、特に双曲型のものに焦点が当たり、分類も進められています。

結論

カッツ・ムーディ代数は、無限次元の数学的構造を興味深く探求できる分野であり、さまざまな関連事項との関係も豊かです。これらの代数は、現代の数学や理論物理学の重要な道具となっており、その深い理論が新たな知見を生むことが期待されています。

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