カプレカー数

カプレカー数とは

カプレカー数（Kaprekar number）とは、インドの数学者D.R.カプレカルによって定義された、特異な性質を持つ自然数のことです。カプレカー数には主に二つの定義があり、それぞれ異なるアプローチで自然数の面白さを探求しています。カプレカー数、カプリカ数とも呼ばれ、原語の発音に近くカプレカル数とも呼ばれます。

定義1：二乗和によるカプレカー数

一つ目の定義は、ある自然数を二乗し、その結果を上位と下位の二つの部分に分け、それぞれの和が元の数と等しくなるというものです。具体例として、297という数を考えてみましょう。

297の二乗は88209です。これを上位2桁の88と下位3桁の209に分割し、足し合わせると、88 + 209 = 297となり、元の数と一致します。したがって、297はカプレカー数です。

この定義に基づくカプレカー数を小さい順に並べると、以下のようになります。

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, ...

この定義には、上位と下位の桁数をほぼ等しく分けるという条件を加える場合があります。例えば、二乗した数が偶数桁の場合は、上位n桁と下位n桁に分け、奇数桁の場合は、上位n桁と下位n+1桁に分けます。この場合、4879や5292はカプレカー数に含まれません。

興味深いことに、9、99、999のように9が連続する数は、すべてこの定義におけるカプレカー数となります。

定義2：カプレカー定数

二つ目の定義は、ある自然数の各桁を並べ替えて最大数と最小数を作り、その差が元の数と等しくなるというものです。この定義で得られる数をカプレカー定数ともいいます。

例えば、6174という数を考えます。6174の各桁を並べ替えて作れる最大数は7641、最小数は1467です。これらの差は、7641 - 1467 = 6174となり、元の数と一致します。そのため、6174はカプレカー数です。10進数4桁の場合、6174は唯一のカプレカー定数です。

3桁の場合、カプレカー定数は495のみです。

カプレカー定数を小さい順に並べると、以下のようになります。

0, 495, 6174, 549945, 631764, 63317664, 97508421, 554999445, 864197532, 6333176664, ...

重要な点として、カプレカー定数は全て9の倍数であることが挙げられます。

カプレカー操作の反復

ある数に対して、定義2の操作を繰り返すと、最終的に特定の数（カプレカー定数）に到達するか、または0になります。例えば、2005から操作を始めると、最終的に6174に到達します。

2005 → 5175 → 5994 → 5355 → 1998 → 8082 → 8532 → 6174

4桁の数では、1111の倍数だけが0になり、それ以外の数はすべて6174に到達します。

カプレカル自身は4桁の数に注目しましたが、この操作は任意の桁数の整数で考えることができます。操作を繰り返すと、必ずループに陥ります。ループの周期が1である場合、その整数はカプレカー数となります。

カプレカー定数は、6174, 631764, 63317664, ...のように、特定のパターンを持つものが無数に存在します。

カプレカー数の研究

2005年には、平田郁美氏が31桁までのすべてのカプレカー数を計算し、その分布を研究しました。

1981年には、プリチェットらによって、特定の桁におけるカプレカー定数は、3桁の495と4桁の6174の二つに限られることが示されました。また、カプレカー数を4つのタイプに分類しましたが、一部に重複がありました。

2024年、岩崎春男氏（嵐山数学研究会）は、ある自然数がカプレカー数であるための必要十分条件として、その自然数が特定の7つの数（495, 6174, 36, 123456789, 27, 124578, 09）の組み合わせで構成される5つの集合のいずれかに所属することを示しました。この新しい分類は、プリチェットらの分類の訂正を含むものです。

さらに、n桁のカプレカー数の個数が、特定の一次方程式や一次不定方程式の整数解の個数と一致することを示し、定義2のカプレカー数の決定問題とその個数問題を完全に解決しました。

カプレカー数は、一見単純な操作から生まれるにもかかわらず、その背後には深い数学的構造が隠されています。この数は、数学の面白さと奥深さを教えてくれる興味深い存在です。

参考文献

D. R. Kaprekar (1980–1981). “On Kaprekar numbers”. Journal of Recreational Mathematics 13: 81–82.
M. ラインズ 著、片山孝次 訳『数 : その意外な表情』岩波書店、1988年。
亀井哲治郎（著）、数学教育協議会（編）「6174は「カプレカル数」と呼ぼう！」『数学教室』こ・そ・あ・ど／んなこと、あけび書房、2021年4月、72-73頁。
G. D. Prichett, A. L. Ludington, and J. F. Lapenta, The determination of all decadic Kaprekar constants, The Fibonacci Quaterly, 19.1 (1981), 45–52.
Y. Hirata, The Kaprekar transformation for higher-digit numbers, Maebashi Kyoai Gakuen Ronshu, 5 (2005), 21–50.

外部リンク

1368'>カプレカ数（特に3桁の場合）について
Weisstein, Eric W. "Kaprekar Number". mathworld.wolfram.com (英語). - 第1の定義によるカプレカー数
Weisstein, Eric W. "Kaprekar Routine". mathworld.wolfram.com (英語). - 第2の定義によるカプレカー数
* 174'>Yutaka Nishiyama (2006年3月1日). “Mysterious Number 6174”. Plus Magazine. University of Cambridge.

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