倍数

倍数とは

数学において、数 a の倍数とは、a を整数倍した数のことを指します。具体的には、a に整数を掛けて得られるすべての数を指し、それらは以下のように表すことができます。


... -3a, -2a, -a, 0, a, 2a, 3a, ...


a が 0 でない場合、a の倍数は無限に存在します。整数 a の倍数は「a で割り切れる整数」とも言い換えられ、a の約数（a を割り切る整数）と対比されることが多いですが、倍数の概念は a が整数でなくても適用できます。

通常、倍数を考える際には、0 と正の倍数に注目することが多く、負の倍数は符号の違いとして扱われることが多いです。例えば、a が正の整数の場合、a の正の倍数は以下のようになります。


a, 2a, 3a, ...


また、整数全体の集合 \( \mathbb{Z} \) を用いると、a の倍数は \( a\mathbb{Z} \) と表すことができます。

具体例

2 の倍数: 0, ±2, ±4, ±6, ±8, ±10, ±12, ...（偶数）
3 の倍数: 0, ±3, ±6, ±9, ±12, ...
12 は、1, 2, 3, 4, 6, 12 のいずれの倍数でもあります。

倍数の数学的性質

整数に関する性質

0 の倍数は 0 のみであり、有限です。したがって、0 の倍数を考えることはあまり意味がありません。
0 は全ての数の倍数です。
全ての数は自分自身の倍数です。
全ての整数は 1 と -1 の倍数です。
偶数とは、2 の倍数のことです。偶数は「2つの等しい整数の和で表せる数」とも定義できますが、これは 2 の倍数であることと同値です。
整数 a において、N が a の倍数であることは、a が N の約数であることと同義です。
整数 a, b に対して、b が a で割り切れることと、b の倍数が a の倍数に含まれることは同じ意味です。数式で表すと以下のようになります。

\( a \mid b \Leftrightarrow b\mathbb{Z} \subset a\mathbb{Z} \)

2 以上の整数は、ある素数の倍数です。
素数の倍数全体は、±1 以外の整数全体に等しくなります。
a の倍数であり、かつ b の倍数でもある数を、a と b の公倍数といいます。公倍数のうち最小の正の数を最小公倍数といいます。ab は a と b の公倍数になります。
a と b の公倍数は、a と b の最小公倍数の倍数です。
a の倍数の倍数は、a の倍数です。
P, Q が共に a の倍数であるならば、kP + lQ（k, l は整数）も a の倍数です。特に P ± Q は a の倍数になります。

同値関係と剰余群

整数全体の集合 \( \mathbb{Z} \) において、二項関係 \( x - y \in a\mathbb{Z} \) を定義すると、これは同値関係となります。この同値関係による商集合 \( \mathbb{Z} / a\mathbb{Z} \) は、加法に関するアーベル群を形成します。

倍数の判定法

整除性の判定法は、ある整数が別の整数で割り切れるかどうかを、実際に割り算を行うことなく判定する方法です。これは、倍数を判定する際にも役立ちます。

倍数判定の様々な方法

一の位で判定: 一の位の数がMであれば、その数はMの倍数です。
各桁の和（数字和）で判定: 一桁の最後の数（10-1）の倍数は、各桁の和が10-1に収まれば、その数は10-1の倍数です。例えば、十進数では9の倍数判定に使われます。
下P桁で判定: 下二桁がabであればMの倍数、下三桁がabcであればMの倍数となる、という方法です。
合成数の場合: ある数が合成数の場合、その数の約数を利用して判定を行うことができます。
一の位をa倍: 乗算表から逆算し、一の位をa倍する方法。例えば、十進数における7の倍数の判定など。
剰余を利用した判定: ある数で割った余りを利用して判定する方法。
複数の素因数を持つ場合: 素因数分解し、各素因数に対応する判定法を組み合わせます。

十進数における例

十進数においては、以下の倍数判定法が広く知られています。

2 の倍数: 一の位が偶数である。
3 の倍数: 各桁の数字の和が 3 の倍数である。
4 の倍数: 下二桁が 4 の倍数である。
5 の倍数: 一の位が 0 または 5 である。
6 の倍数: 2 の倍数かつ 3 の倍数である。
8 の倍数: 下三桁が 8 の倍数である。
9 の倍数: 各桁の数字の和が 9 の倍数である。
10 の倍数: 一の位が 0 である。
11 の倍数: 奇数桁の和と偶数桁の和の差が 0 または 11 の倍数である。

51以上の数の倍数判定法も、上記の方法を応用することで行うことができます。

51 の倍数: 一の位を5倍して、整数第二位以上との差を求め、その差が51の倍数であるか判定。
99 の倍数: 下二桁ごとに区分し、各区分の合計が 99 で割り切れるか判定。
101 の倍数: 下四桁ごとに区分し、各区分の合計が 101 で割り切れるか判定。
125 の倍数: 下三桁が125の倍数であるか判定。

このように、倍数判定法を組み合わせることで、様々な数の倍数を効率的に判定することができます。例えば、

108 の倍数: 4の倍数判定法と27の倍数判定法を両方満たす。
185 の倍数: 5の倍数判定法と37の倍数判定法を両方満たす。
240 の倍数: 3の倍数判定法、5の倍数判定法、16の倍数判定法を全て満たす。
378 の倍数: 2の倍数判定法、7の倍数判定法、27の倍数判定法を全て満たす。
792 の倍数: 8の倍数判定法、9の倍数判定法、11の倍数判定法を全て満たす。

まとめ

倍数は数学において基本的な概念であり、整数論や数論において重要な役割を果たします。倍数の理解は、約数、公倍数、最小公倍数などの関連概念の理解にもつながります。また、倍数判定法を習得することで、数の性質をより深く理解し、計算を効率化することができます。

参考文献

『日本大百科全書』 13巻、小学館、1987年。
Fritz Reinhardt 著、長岡昇勇・長岡由美子 訳『カラー図解 学校数学事典』共立出版、2014年。
Bettina Richmond; Thomas Richmond (2009). A Discrete Transition to Advanced Mathematics. American Mathematical Soc.

関連項目

倍
倍数詞
公倍数
最小公倍数
偶数
約数
倍数比例の法則
倍数性

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