カリーのパラドックス

カリーのパラドックスは、論理学や集合論の基礎において現れる有名なパラドックスの一つです。自己言及を含む表現と、一見すると全く問題のない基本的な論理規則を組み合わせることで、驚くべきことにいかなる主張や命題も論理的に導き出せてしまうことを示します。この現象は、素朴な論理体系や集合論が内包する問題点を浮き彫りにします。

このパラドックスの名前は、アメリカの数理論理学者であるハスケル・カリーに由来します。また、ドイツの数学者マルティン・フーゴー・レープの研究に関連して、「レープのパラドックス」と呼ばれることもあります。

パラドックスの構造

カリーのパラドックスの核心は、「もしこの文が真ならば、Yである」という形式の文（あるいは式）にあります。ここで「Y」は任意の命題、例えば「サンタクロースは実在する」や「全ての数は偶数である」など、どんな内容でも構いません。

自然言語における例

この構造を最も分かりやすく示すのが、自然言語での例です。

次のような文を考えてみましょう：

「この文が真ならば、サンタクロースは実在する。」

この文を「A」と呼びます。文Aの内容は「Aが真ならば、サンタクロースは実在する」ということになります。

ここで、もし文Aが真であると仮定してみましょう。文Aの内容は「Aが真ならば、サンタクロースは実在する」でした。仮定により「Aが真」が成り立っているので、「Aが真ならば、サンタクロースは実在する」という条件文の前件（Aが真）が満たされます。したがって、後件である「サンタクロースは実在する」が結論として得られます。

これは「もしPならばQ」と「P」から「Q」を導くという、基本的な論理規則である推件律（モーダスポネンス）を用いた推論です。また、「もしPを仮定してQを導けるならば、PならばQである」という条件付き演繹の考え方も使われています。

さて、「サンタクロースは実在する」という結論が得られました。この結論は、最初に仮定した文Aの内容「Aが真ならば、サンタクロースは実在する」と全く同じです。つまり、「サンタクロースは実在する」が得られたということは、「Aが真ならば、サンタクロースは実在する」という文そのものが真である、ということを意味します。これは最初に「Aが真であると仮定」したことと整合します。したがって、文Aは実際に真であり、そしてその内容から「サンタクロースは実在する」という結論が真でなければならない、ということになります。

驚くべきことに、この論法は「サンタクロースは実在する」の部分をどんな主張「Y」に置き換えても成立します。つまり、「この文が真ならば、Yである」という形式を用いれば、いかなる主張Yも「証明」できてしまうのです。これは明らかに受け入れがたい結果であり、パラドックスとなります。

数理論理学と素朴集合論における表現

このパラドックスは、形式的な体系でも同様に発生します。

数理論理学においては、自己言及的な命題Xを X ⇔ (X → Y) のように定義できると仮定した場合に発生します。ここでYは任意の命題です。いくつかの標準的な論理規則（例えば、恒真式の利用、同値な式の置き換え、縮約規則、推件律など）を適用していくと、最終的に命題 Y が導き出されてしまいます。

特に、Yが矛盾する命題（例えば「Pかつ非P」）である場合、X ⇔ (X → (P∧¬P)) となり、推論を進めると最終的に X ⇔ ¬X という形、すなわち嘘つきのパラドックスと同じ構造に帰着します。

素朴集合論においては、集合を構成する条件に制限がない「無制限の内包原理」を仮定するとパラドックスが生じます。具体的には、集合Xを X = {x | (x ∈ x) → Y} と定義します。これは「xがx自身の要素であるならば、Yである」という条件を満たす要素xを全て集めた集合です。この定義から、集合論における基本的な推論規則を用いていくと、集合Xが自分自身の要素であるかどうか (X ∈ X) という命題が、定義 (X ∈ X) ⇔ ((X ∈ X) → Y) と同値であることが示されます。ここから数理論理学の場合と同様の推論を適用することで、やはり任意の命題 Y が導かれてしまいます。

この場合も、Yが矛盾する命題（例えば「Zかつ非Z」）であるとすると、集合Xは X = {x | (x ∈ x) → (Z∧¬Z)} と定義されます。推論を進めると、この集合Xは {x | (x ∉ x)} という形、すなわち自分自身を含まない全ての集合の集合として定義される集合と同値であることが示されます。これは有名なラッセルのパラドックスで定義される集合と同一であり、結局ラッセルのパラドックスに帰着します。

パラドックスの背景にある条件

カリーのパラドックスは、特定の性質を持つ論理体系や言語で発生しやすいことが知られています。主な条件としては以下のようなものが挙げられます：

1. 自己言及のメカニズム: 文や式自身が自らに言及できるような仕組みが存在すること。
2. 真理述語または同等の表現: 「真である」という性質を表現できる、あるいはそれに準ずる機能があること（素朴集合論の無制限の内包原理などがこれに相当する）。
3. 特定の推論規則: 仮説を繰り返し使用できる縮約規則や、基本的な推件律（モーダスポネンス）、同一律などが有効であること。

自然言語はこれらの特徴をほとんど備えているため、カリーのパラドックスが発生しやすい環境と言えます。形式的な体系においても、ゲーデルの不完全性定理が自己言及の方法が存在することを示唆しており、また素朴集合論のように定義に制限がない体系では真理に関する表現が可能になります。

他のパラドックスとの比較と解決への議論

カリーのパラドックスの興味深い点は、ラッセルのパラドックスや嘘つきのパラドックスといった他の有名なパラドックスとは異なり、使用される論理体系における「否定」の定義や解釈に依存しない、という点です。この性質から、矛盾をある程度許容するように設計された論理体系（矛盾許容論理）であっても、カリーのパラドックスに対しては脆弱である場合があります。

カリーのパラドックスに対する決定的な解決策は、論理学や哲学において長年の議論の対象となっています。パラドックスを生み出すような自己言及的な表現を体系内で許容すべきか、許容しないならどう制限すべきか、あるいはそのような表現や真理という概念自体に問題があるのか、といった根本的な問いが立てられています。現在に至るまで、その解決は単純ではなく、直感に反する難しさから、活発な議論が続けられています。

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