恒真式

恒真式（トートロジー）とは

恒真式（こうしんしき、英: tautology）とは、論理学における基本的な概念の一つで、命題変数の真偽値に関わらず常に真となる論理式のことです。例えば、「AならばAである（A→A）」や「Aである、またはAでない（A∨¬A）」といった式が該当します。恒真式は、その構造から必然的に真となるため、論理的な推論や証明において重要な役割を果たします。

恒真式の反対概念として、常に偽となる論理式、すなわち矛盾があります。恒真式の否定は常に矛盾となり、逆に矛盾の否定は恒真式となります。

命題論理における恒真式

命題論理では、命題を記号化した論理式を扱います。この論理式の中で、構成要素である最も単純な要素式の真偽値に関わらず、常に真となるものが恒真式、またはトートロジーです。一方、真にも偽にもなりうる論理式は整合式、常に偽となる論理式は恒偽式または矛盾式と呼ばれます。

述語論理における恒真式

述語論理では、命題論理のように単純な恒真式を直接考えることはありませんが、同様の概念は存在します。論理式がすべての解釈に対して真となる場合、その式は恒真（validity）であるといい、妥当式（valid wff）と呼ばれます。また、少なくとも一つの解釈で真となる場合は充足可能（satisfiability）であり、充足可能式（satisfiable wff）と呼ばれます。そして、全ての解釈で偽となる場合は充足不可能であり、矛盾式（contradictory wff）となります。

恒真式の定義と例

古典命題論理における恒真式は、以下の通り定義されます。

命題変数の全体: Val
真理値割り当て: f: Val → {⊤, ⊥} （⊤は真、⊥は偽）

この写像 f を論理式全体 Fml に拡張し、以下のルールに従って真理値を評価します。

f(α ∧ β) := f(α) ∧ f(β)
f(α ∨ β) := f(α) ∨ f(β)
f(¬α) := ¬f(α)
f(α → β) := f(α) → f(β)

このようにして得られる写像 f: Fml → {⊤, ⊥} を付値といいます。任意の付値 f に対して f(α) = ⊤ となるとき、α を恒真式と定義します。

古典論理における主な恒真式の例:

¬(α ∧ ¬α) (矛盾律)
α ∨ ¬α (排中律)
(α → β) ⇔ (¬β → ¬α) (対偶律)
¬¬α ⇔ α (二重否定の法則)
¬(α ∧ β) ⇔ (¬α ∨ ¬β) (ド・モルガンの法則)
((α → β) ∧ (β → γ)) → (α → γ) (推移律)

上記以外にも、同一律、巾等律、交換律、結合律、分配律、吸収律、選言的三段論法、前件肯定式、移入律、移出律、縮小律、拡大律、構成的両刀論法などが恒真式として知られています。

恒真式の確認方法

命題論理において、ある論理式が恒真式であるかを確認する基本的な方法は、真理値表を作成して真理値分析を行うことです。命題変数が n 個存在する場合、2^n 通りのケースを調べます。

例えば、式「α → (β → α)」の場合、以下の4通りのケースを調べます。


すべてのケースで「α → (β → α)」が真となるため、この式は恒真式であることがわかります。

また、恒真式は代数的な式変形によっても確認できます。例えば、「α → (β → α)」は以下のように変形できます。

α → (β → α) = ¬α ∨ (¬β ∨ α) = (α ∨ ¬α) ∨ ¬β = ⊤ ∨ ¬β = ⊤

この変形からも、この式が常に真となることが示されます。

まとめ

恒真式は、論理学において非常に重要な概念であり、論理的な推論や証明の基礎となります。真理値表や代数的な変形を用いて、ある論理式が恒真式であるかを確認することは、論理学を理解する上で欠かせないスキルです。この記事を通じて、恒真式の概念とその重要性を理解していただければ幸いです。

参考資料

清水義夫『記号論理学』東京大学出版会、1984年。

関連項目

論理的真理
推論
完全性
論理回路
論理記号の一覧
循環定義

外部リンク

7.恒真命題・恒偽命題 (山陽学園大学　論理学)
* 11.述語論理 (山陽学園大学　論理学)

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